Pembahasan Definit Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $
-). Syarat definiti :
Definit positif syaratnya : $ D < 0 $ dan $ a > 0 $
Definit negatif syaratnya : $ D < 0 $ dan $ a < 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
-). Fungsi kuadrat selalu di atas sumbu X, artinya memenuhi definit positif.
*). RUmus ABC : $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Tentukan akar-akarnya
2). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya
3). Arsir daerahnya,
jika $ > 0 $ , maka arsir yang $ + $ (daerah positif)
jika $ < 0 $ , maka arsir yang $ - $ (daerah negatif)
4). BUat himpunannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $
untuk memudahkan, kita ganti $ a $ dengan $ k $, sehingga
kurvanya menjadi $ y = (k-2)x^2+ \sqrt{3}(1-k)x + (k-2) $
Nilai $ a = k - 2 , b = \sqrt{3}(1-k) $ , dan $ x = k - 2 $
dan yang ditanyakan adalah $ k - 2 $ bulat terkecil.
*). Kurvanya selalu di atas sumbu X, artinya berlaku definit positif.
Syarat definit positif : $ D < 0 $ dan $ a > 0 $
*). Menyelesaikan definit syarat positifnya :
-). syarat : $ a > 0 $
$ a > 0 \rightarrow k - 2 > 0 \rightarrow k > 2 $
$ HP_1 = \{ k > 2 \} $
-). Syarat : $ D < 0 $
$\begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (\sqrt{3}(1-k))^2 - 4.(k - 2).(k - 2) & < 0 \\ 3(1 - 2k + k^2) - 4.(k^2 - 4k + 4) & < 0 \\ 3 - 6k + 3k^2 - 4k^2 + 16k - 16 & < 0 \\ -k^2 + 10k - 13 & < 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ k^2 - 10k + 13 & > 0 \\ \end{align} $
-). RUmus ABC untuk menentukan akar-akarnya :
Bentuk $ k^2 - 10k + 13 = 0 $
$\begin{align} k & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ k & = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4.1.13}}{2.1} \\ k & = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 52}}{2 } \\ k & = \frac{10 \pm \sqrt{48}}{2 } \\ k & = \frac{10 \pm 4\sqrt{3}}{2 } \\ k & = 5 \pm 2\sqrt{3} \end{align} $
sehingga $ k_1 = 5 - 2\sqrt{3} $ dan $ k_2 = 5 + 2\sqrt{3} $
-). garis bilangannya :
 

$ HP_2 = \{ k < 5 - 2\sqrt{3} \vee k > 5 + 2\sqrt{3} \} $
*). SOlusi total yaitu $ HP_1 $ irisan $ HP_2 $ :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ k > 2 \} \cap \{ k < 5 - 2\sqrt{3} \vee k > 5 + 2\sqrt{3} \} \\ & = \{ k > 5 + 2\sqrt{3} \} \end{align} $
*). Bilangan bulat yang memenuhi $ k > 5 + 2\sqrt{3} = 8,... $ yaitu :
$ k = \{ 9, 10, 11, 12, 13, 14, .... \} $
artinya $ k $ bulat terkecil adalah $ k = 9 $
sehingga nilai bulat terkecil dari $ k - 2 $ :
$ k - 2 = 9 - 2 = 7 $
Jadi, nilai terkecil $ a - 2 $ adalah $ 7 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar