Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 634

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f \left( \frac{x}{3} \right) = x^2 + x + 1 $ , maka jumlah kuadrat nilai-nilai $ y $ yang memenuhi $ f(3y) = 5 $ adalah ....
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ \frac{1}{7} \, $ E). $ \frac{1}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $
-). Nilai fungsi untuk $ x = k $ adalah $ f(k) = ak^2 + bk + c $
*). Persamaan kuadrat $ ay^2 + by + c = 0 $ memiliki akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ y_1.y_2 = \frac{c}{a} $
Jumlah kuadrat : $ y_1^2 + y_2^2 $
Rumus bantu : $ y_1^2 + y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1y_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f \left( \frac{x}{3} \right) = x^2 + x + 1 $
*). Substitusi $ x = 9y $ ke fungsi kuadratnya :
$\begin{align} f \left( \frac{x}{3} \right) & = x^2 + x + 1 \\ f \left( \frac{9y}{3} \right) & = (9y)^2 + 9y + 1 \\ f ( 3y ) & = 81y^2 + 9y + 1 \end{align} $
*). Menentukan jumlah kuadrat dari $ f(3y) = 5 $ :
$\begin{align} f(3y) & = 5 \\ 81y^2 + 9y + 1 & = 5 \\ 81y^2 + 9y -4 & = 0 \\ a = 81 , b = 9 , c & = -4 \\ y_1^2 + y_2^2 & = (y_1+y_2)^2 - 2y_1y_2 \\ & = \left( \frac{-b}{a} \right) ^2 - 2 . \frac{c}{a} \\ & = \left( \frac{-9}{81} \right) ^2 - 2 . \frac{-4}{81} \\ & = \left( \frac{-1}{9} \right) ^2 + \frac{8}{81} \\ & = \frac{1}{81} + \frac{8}{81} \\ & = \frac{9}{81} = \frac{1}{9} \end{align} $
Jadi, jumlah kuadrat nilai $ y $ adalah $ \frac{1}{9} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar