Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 634

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = \frac{ax+b}{x^2 + 1} $ , $ f(0) = f^\prime (0) $ , dan $ f^\prime (-1) = 1 $ , maka ....
(1). $ a + b = 4 $
(2). $ f(1) = 2 $
(3). $ f(-2) = -\frac{2}{5} $
(4). $ y = x + 1 \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $
*). Persamaan garis kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ f(x) = \frac{ax+b}{x^2 + 1} $ , $ f(0) = f^\prime (0) $ , dan $ f^\prime (-1) = 1 $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{ax+b}{x^2 + 1} = \frac{U}{V} \\ U & = ax + b \rightarrow U^\prime = a \\ V & = x^2 + 1 \rightarrow V^\prime = 2x \\ f ^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{a.(x^2 + 1) - (ax+b).2x}{(x^2 + 1)^2} \\ & = \frac{ax^2 + a - 2ax^2 - 2bx}{(x^2 + 1)^2} \\ & = \frac{-ax^2 - 2bx + a}{(x^2 + 1)^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan pertama :
$\begin{align} f(0) & = f^\prime (0) \\ \frac{a.0+b}{0^2 + 1} & = \frac{-a.0^2 - 2b.0 + a}{(0^2 + 1)^2} \\ \frac{ b}{ 1} & = \frac{a}{1} \\ a & = b \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menyusun persamaan kedua :
$\begin{align} f^\prime (-1) & = 1 \\ \frac{-a.(-1)^2 - 2b.(-1) + a}{((-1)^2 + 1)^2} & = 1 \\ \frac{-a + 2b + a}{4} & = 1 \\ 2b & = 4 \\ b & = 2 \end{align} $
dari pers(i) : $ a = b = 2 $
*). Kita cek setiap pernyataan :
-). Pernyataan (1). $ $ a + b = 4 $ \, $ ?
$ a + b = 2 + 2 = 4 $
Pernyataan (1) BENAR.

-). Pernyataan (2). $ f(1) = 2 $ ?
$ f(x) = \frac{ax+b}{x^2 + 1} $
$ f(1) = \frac{2.1+2}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 $
Pernyataan (2) BENAR.

-). Pernyataan (3). $ f(-2) = -\frac{2}{5} $ ?
$ f(x) = \frac{ax+b}{x^2 + 1} $
$ f(-2) = \frac{2.(-2)+2}{(-2)^2 + 1} = \frac{-2}{5} $
Pernyataan (3) BENAR.

-). Pernyataan (4). $ y = x + 1 \, $ adalah persamaan garis singgung di $ x = -1 $ ?
Gradien : $ m = f^\prime (-1) = 1 $ (diketahui)
Nilai $ y_1 = f(-1) = \frac{2.(-1) + 2}{(-1)^2 + 1} = \frac{0}{2} = 0 $
Menyusun garis singgung di $ (x_1,y_1) = (-1, 0) $ dan $ m = 1 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 0 & = 1 ( x - (-1)) \\ y - 0 & = x + 1 \\ y & = x + 1 \end{align} $
Garis singgungnya adalah $ y = x + 1 $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga semua pernyataan BENAR, jawabannya E.
Jadi, semuanya BENAR $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar