Cara 2 Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
Panjang AB : $ |AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} $
*). Aturan kosinus pada segitiga :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC. \cos A $
atau $ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2.AC.AB} $
*). Identitas Trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos ^2A} $
*). Luas segitiga ABC dengan menggunakan sudut A :
Luas $ = \frac{1}{2}. AC.AB. \sin A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(3-4)^2+(1-3)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \\ |BC| & = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2+(0-5)^2} = \sqrt{9+1+25} = \sqrt{35} \\ |AC| & = \sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(2-5)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \end{align} $
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ \cos A $ dan $ \sin A $ :
$\begin{align} \cos A & = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2.AC.AB} \\ & = \frac{(\sqrt{14})^2 + 3^2 - (\sqrt{35})^2}{2.\sqrt{14}.3} \\ & = \frac{14 + 9 - 35}{2.\sqrt{14}.3} \\ & = \frac{-12}{6\sqrt{14} } \\ & = \frac{-2}{\sqrt{14} } \times \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} \\ & = \frac{-2\sqrt{14}}{14} = \frac{-\sqrt{14}}{7} \\ \sin A & = \sqrt{1 - \cos ^2 A } \\ & = \sqrt{1 - (\frac{-\sqrt{14}}{7})^2 } \\ & = \sqrt{1 - \frac{14}{49} } = \sqrt{ \frac{35}{49} } = \frac{1}{7} \sqrt{35} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \times AC \times AB \times \sin A \\ & = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} \times 3 \times \frac{1}{7} \sqrt{35} \\ & = \frac{3}{14} \times \sqrt{490} = \frac{3}{14} \times 7 . \sqrt{10} \\ & = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar