Cara 3 Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
-). Vektor $ \vec{AB} = ( b_1 - a_1 , b_2 - a_2 , b_3 - a_3) $
-). Panjang vektor $ \vec{AB} = | \vec{AB}| = \sqrt{ (b_1 - a_1)^2 +( b_2 - a_2)^2+( b_3 - a_3)^2} $
*). Luas segitiga ABC dengan vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $ :
Luas $ = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | $
dengan $ | \vec{AB} \times \vec{AC} | $ adalah panjang hasil perkalian silang $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $
*). Menentukan perkalian silang dua vektor sama dengan determinan cara sarrus.
Misalkan : $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} \times \vec{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} \vec{AC} & = C-A = (-2, 1, 3) \\ \vec{AB} & = B - A = (1, 2, -2) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AC} \times \vec{AB} $ dan panjangnya :
$\begin{align} \vec{AC} \times \vec{AB} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = (-2i+3j-4k)-(6i+4j+k) \\ & = -8i - j -5k = (-8, -1, -5) \\ |\vec{AC} \times \vec{AB}| & = \sqrt{(-8)^2+(-1)^2+(-5)^2} \\ & = \sqrt{64+1+25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AB}| \\ & = \frac{1}{2} (3\sqrt{10}) = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar