Pembahasan Luas Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika diketahui koordinat titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) , maka luas segitiga ABC sama dengan .....
A). $ \sqrt{14} \, $ B). $ \frac{3}{2}\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{26} \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{114} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui titik $ A(a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2, b_3) $
Panjang AB : $ |AB| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} $
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui segitiga ABC dengan titik A(3,1,2) , B(4,3,0) , dan C(1,2,5) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(3-4)^2+(1-3)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \\ |BC| & = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2+(0-5)^2} = \sqrt{9+1+25} = \sqrt{35} \\ |AC| & = \sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(2-5)^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \end{align} $
Misalkan $ AD = x \rightarrow DB = 3 - x $ dan $ CD = t $ (gambar (i))
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ x $ pada segitiga ADC dan BDC dengan pythagoras :
$\begin{align} t^2 \, (\text{segitiga ADC}) & = t^2 \, (\text{segitiga BDC}) \\ CA^2 - AD^2 & = CB^2 - BD^2 \\ (\sqrt{14})^2 - x^2 & = (\sqrt{35})^2 - (3-x)^2 \\ 14 - x^2 & = 35 - (9 - 6x + x^2) \\ 14 - x^2 & = 35 - 9 + 6x - x^2 \\ 6x & = -12 \\ x & = -2 \end{align} $
karena nilai $ x $ negatif, maka gambar yang benar adalah gambar (ii).
*). Menentukan tinggi segitiga ABC :
$ t = \sqrt{CA^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{14})^2 - 2^2} = \sqrt{10} $
*). Menentukan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{10} \\ & = \frac{3}{2} \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{3}{2} \sqrt{10} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar