Pembahasan Vektor Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{u} = (4, -5, 3) $ , $ \vec{v} = (2, -1, 3) $ , maka ....
(1). $ || \vec{u} + \vec{v} || = 6\sqrt{3} $
(2). $ || \vec{u} - \vec{v} || = \, $ jarak $ \vec{u} $ ke $ \vec{v} $
(3). $ \angle ( \vec{u}, \vec{v}) \, $ tumpul
(4). $ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} = \frac{11}{7} (2, -1, 3) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3 ) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} . \vec{v} = u_1.v_1 + u_2.v_2 + u_3.v_3 $
Panjang vektor $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
*). Panjang vektor $ \vec{u} + \vec{v} $ adalah $ || \vec{u} + \vec{v}|| $
$ || \vec{u} + \vec{v}|| = \sqrt{(u_1+v_1)^2 + (u_2+v_2)^2 +(u_3+v_3)^2 } $
*). Jarak vektor $ \vec{u} $ ke vektor $ \vec{v} $ adalah $ ||\vec{u} - \vec{v}|| $
*). Besar sudut $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \theta $ dengan rumus :
$ \cos \theta = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $
*). Proyeksi vektor $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} $
$ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} = \left( \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor $ \vec{u} = (4, -5, 3) $ , $ \vec{v} = (2, -1, 3) $
$ \vec{u}.\vec{v} = 4.2 + (-5).(-1) + 3.3 = 8 + 5 + 9 = 22 $
$ |\vec{u}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} $
$ |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} $

Cek setiap pernyataan :
(1). $ || \vec{u} + \vec{v} || = 6\sqrt{3} $ ?
$\begin{align} || \vec{u} + \vec{v} || & = \sqrt{(4+2)^2 + (-5 + (-1))^2 + (3+3)^2} \\ & = \sqrt{36 + 36 + 36} = \sqrt{3. 36} = 6\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ || \vec{u} - \vec{v} || = \, $ jarak $ \vec{u} $ ke $ \vec{v} $ ?
Pernyataan (2) BENAR sesuai konsep dasar di atas.

(3). $ \angle ( \vec{u}, \vec{v}) \, $ tumpul ?
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \\ \cos \theta & = \frac{22}{\sqrt{50}. \sqrt{14} } \end{align} $
Karena nilai $ \cos \theta > 0 $ (positif), maka sudutnya bukan tumpul.
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} = \frac{11}{7} (2, -1, 3) $ ?
$\begin{align} \text{proy}_\vec{v} \vec{u} & = \left( \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} \\ & = \left( \frac{22}{(\sqrt{14})^2} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{22}{14} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{11}{7} \right) (2, -1, 3) \end{align} $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan yang BENAR adalah (1), (2), dan (4). Tidak ada jawaban sesuai petunjuk C.
Jadi, pernyataan (1), (2), dan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar