Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = (c_1 - x)^2 + (c_2 - x)^2 + (c_3 - x)^2 , $ maka pada $ y $ berlaku ....
(1). mempunyai dua titik stasioner
(2). nilai maksimum adalah $ c_1 + \frac{c_2}{2c_3} $
(3). selalu naik
(4). nilai minimumnya terjadi pada $ \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = (c_1 - x)^2 + (c_2 - x)^2 + (c_3 - x)^2 $
$ y^\prime = 2(c_1 - x). (-1) + 2(c_2 - x). (-1) + 2(c_3 - x). (-1) $
$ y^\prime = 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) & = 0 \\ 6x & = 2(c_1 + c_2 + c_3) \\ x & = \frac{ 2(c_1 + c_2 + c_3)}{6} \\ x & = \frac{ (c_1 + c_2 + c_3)}{3} \end{align} $
Karena $ x $ yang kita peroleh hanya satu, maka titik stasionernya hanya ada satu saja.
-). Turunan kedua :
$ y^\prime = 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) $
$ y^{ \prime \prime } = 6 > 0 $
Karena nilai turunan keduanya positif, maka stasioner jenisnya minimum.

Kita cek setiap pernyataan :
(1). mempunyai dua titik stasioner ?
Pernyataan (1) SALAH.

(2). nilai maksimum adalah $ c_1 + \frac{c_2}{2c_3} $ ?
Pernyataan (2) SALAH karena yang ada nilai minimum.

(3). selalu naik ?
Dari turnan pertamanya : $ y^\prime = 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) $
Nilai turunan pertamanya bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga untuk semua $ x $ tidak selalu nilai turunan pertamanya positif. Artinya fungsi $ y $ tidak selalu naik
Pernyataan (3) SALAH.

(4). nilai minimumnya terjadi pada $ \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $ ?
Dari syarat stasioner kita peroleh $ x = \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $ , artinya fungsi $ y $ minimum pada saat $ x = \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $ .
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.