dunia informa: simak ui matipa 2018 kode 414

Tampilkan postingan dengan label simak ui matipa 2018 kode 414. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha = \frac{7}{8} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \frac{11}{16} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos ^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x ) $
$ \sin ^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x ) $
$ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $
*). Sifat eksponen :
$ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2 )^2 - 2 (a.b)^2 $
$ a^6 + b^6 = (a^4 + b^4)(a^2 + b^2) - (ab)^2(a^2 + b^2) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \alpha = \frac{\pi}{12} $ dengan $ \pi = 180^\circ $
*). Menentukan beberapa nilai :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = \cos 2 . \frac{\pi}{12} = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 2 \alpha & = \sin 2 . \frac{\pi}{12} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \\ \sin \alpha . \cos \alpha & = \frac{1}{2} \sin 2 \alpha = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha = \frac{7}{8} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha & = (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha)^2 - 2(\sin \alpha . \cos \alpha )^2 \\ & = (1)^2 - 2( \frac{1}{4} )^2 \\ & = 1 - 2( \frac{1}{16} ) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \end{align} $
Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha = \frac{11}{16} \, $ ?
$ \begin{align} & \sin ^6 \alpha + \cos ^6 \alpha \\ & = (\sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha )(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) - (\sin x \cos x)^2 (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) \\ & = ( \frac{7}{8} )(1) - ( \frac{1}{4} )^2 (1) \\ & = \frac{7}{8} - \frac{1}{16} = \frac{13}{16} \end{align} $
Pernyataan (2) SALAH.

(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \cos ^4 \alpha & = \cos ^2 \alpha . \cos ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 + \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} + \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha & = \sin ^2 \alpha . \sin ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 - \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} - \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (4) SALAH.

Sehingga pernyataan (1) yang BENAR, tidak ada jawabannya.
Jadi, yang BENAR adalah pernyataan (1) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = (c_1 - x)^2 + (c_2 - x)^2 + (c_3 - x)^2 , $ maka pada $ y $ berlaku ....
(1). mempunyai dua titik stasioner
(2). nilai maksimum adalah $ c_1 + \frac{c_2}{2c_3} $
(3). selalu naik
(4). nilai minimumnya terjadi pada $ \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = (c_1 - x)^2 + (c_2 - x)^2 + (c_3 - x)^2 $
$ y^\prime = 2(c_1 - x). (-1) + 2(c_2 - x). (-1) + 2(c_3 - x). (-1) $
$ y^\prime = 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) & = 0 \\ 6x & = 2(c_1 + c_2 + c_3) \\ x & = \frac{ 2(c_1 + c_2 + c_3)}{6} \\ x & = \frac{ (c_1 + c_2 + c_3)}{3} \end{align} $
Karena $ x $ yang kita peroleh hanya satu, maka titik stasionernya hanya ada satu saja.
-). Turunan kedua :
$ y^\prime = 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) $
$ y^{ \prime \prime } = 6 > 0 $
Karena nilai turunan keduanya positif, maka stasioner jenisnya minimum.

Kita cek setiap pernyataan :
(1). mempunyai dua titik stasioner ?
Pernyataan (1) SALAH.

(2). nilai maksimum adalah $ c_1 + \frac{c_2}{2c_3} $ ?
Pernyataan (2) SALAH karena yang ada nilai minimum.

(3). selalu naik ?
Dari turnan pertamanya : $ y^\prime = 6x - 2(c_1 + c_2 + c_3) $
Nilai turunan pertamanya bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga untuk semua $ x $ tidak selalu nilai turunan pertamanya positif. Artinya fungsi $ y $ tidak selalu naik
Pernyataan (3) SALAH.

(4). nilai minimumnya terjadi pada $ \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $ ?
Dari syarat stasioner kita peroleh $ x = \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $ , artinya fungsi $ y $ minimum pada saat $ x = \frac{c_1+c_2+c_3}{3} $ .
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{u} = (4, -5, 3) $ , $ \vec{v} = (2, -1, 3) $ , maka ....
(1). $ || \vec{u} + \vec{v} || = 6\sqrt{3} $
(2). $ || \vec{u} - \vec{v} || = \, $ jarak $ \vec{u} $ ke $ \vec{v} $
(3). $ \angle ( \vec{u}, \vec{v}) \, $ tumpul
(4). $ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} = \frac{11}{7} (2, -1, 3) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3 ) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
$ \vec{u} . \vec{v} = u_1.v_1 + u_2.v_2 + u_3.v_3 $
Panjang vektor $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
*). Panjang vektor $ \vec{u} + \vec{v} $ adalah $ || \vec{u} + \vec{v}|| $
$ || \vec{u} + \vec{v}|| = \sqrt{(u_1+v_1)^2 + (u_2+v_2)^2 +(u_3+v_3)^2 } $
*). Jarak vektor $ \vec{u} $ ke vektor $ \vec{v} $ adalah $ ||\vec{u} - \vec{v}|| $
*). Besar sudut $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ \theta $ dengan rumus :
$ \cos \theta = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $
*). Proyeksi vektor $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $ adalah $ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} $
$ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} = \left( \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui vektor $ \vec{u} = (4, -5, 3) $ , $ \vec{v} = (2, -1, 3) $
$ \vec{u}.\vec{v} = 4.2 + (-5).(-1) + 3.3 = 8 + 5 + 9 = 22 $
$ |\vec{u}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} $
$ |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} $

Cek setiap pernyataan :
(1). $ || \vec{u} + \vec{v} || = 6\sqrt{3} $ ?
$\begin{align} || \vec{u} + \vec{v} || & = \sqrt{(4+2)^2 + (-5 + (-1))^2 + (3+3)^2} \\ & = \sqrt{36 + 36 + 36} = \sqrt{3. 36} = 6\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ || \vec{u} - \vec{v} || = \, $ jarak $ \vec{u} $ ke $ \vec{v} $ ?
Pernyataan (2) BENAR sesuai konsep dasar di atas.

(3). $ \angle ( \vec{u}, \vec{v}) \, $ tumpul ?
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \\ \cos \theta & = \frac{22}{\sqrt{50}. \sqrt{14} } \end{align} $
Karena nilai $ \cos \theta > 0 $ (positif), maka sudutnya bukan tumpul.
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ \text{proy}_\vec{v} \vec{u} = \frac{11}{7} (2, -1, 3) $ ?
$\begin{align} \text{proy}_\vec{v} \vec{u} & = \left( \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} \\ & = \left( \frac{22}{(\sqrt{14})^2} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{22}{14} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{11}{7} \right) (2, -1, 3) \end{align} $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan yang BENAR adalah (1), (2), dan (4). Tidak ada jawaban sesuai petunjuk C.
Jadi, pernyataan (1), (2), dan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui sebuah barisan $ 0, \frac{3}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64} , .... $ Jumlah 12 suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{12}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}} \, $
C). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{1}{2^{22}} \, $ E). $ \frac{3}{2^{12}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap barisan memiliki pola atau rumus tersendiri.
*). Sifat eksponen :
untuk $ n \, $ ganjil, $ (-1)^n = -1 $
untuk $ n \, $ genap, $ (-1)^n = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sebuah barisan $ 0, \frac{3}{4}, \frac{3}{16}, \frac{9}{64} , .... $ :
-). Penjabaran setiap sukunya :
$ u_1 = 0 = \frac{1}{2^0} - \frac{1}{2^0} = \frac{1}{2^{1-1}} + (-1)^1 \frac{1}{2^{2(1-1)}} $
$ u_2 = \frac{3}{4} = \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2^{2-1}} + (-1)^2 . \frac{1}{2^{2(2-1)}} $
$ u_3 = \frac{3}{16} = \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^4} = \frac{1}{2^{3-1}} + (-1)^3 . \frac{1}{2^{2(3-1)}} $
$ u_4 = \frac{9}{64} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6} = \frac{1}{2^{4-1}} + (-1)^4 . \frac{1}{2^{2(4-1)}} $
......
$ u_n = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{2^{2(n-1)}} $
-). Sehingga rumus umum suku ke-$n$ nya yaitu :
$ u_n = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{2^{2(n-1)}} $
*). Menentukan jumlah 12 suku pertamanya :
Jika kita hitung nilai $ s_{12} $ maka hasilnya yaitu :
$ s_{12} = \frac{6}{5} + \frac{1}{5 \times 2^{22}} - \frac{1}{2^{11}} $
Hasil ini tidak ada dioptionnya.
*). Menurut kami pertanyaannya kurang tepat jika optionnya seperti itu. Yang ditanyakan adalah suku ke-12 nya.
*). Menentukan suku ke-12 :
$\begin{align} u_n & = \frac{1}{2^{n-1}} + (-1)^n . \frac{1}{2^{2(n-1)}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{12-1}} + (-1)^{12} . \frac{1}{2^{2(12-1)}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{11}} + 1 . \frac{1}{2^{2(11)}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}} \end{align} $
Jadi, suku ke-12 adalah $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{22}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ a+b-c=2 $ , $ a^2+b^2-4c^2 = 2$ , dan $ ab = \frac{3}{2}c^2 $ , maka nilai $ c $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah dengan metode substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ a+b-c=2 \, $ .....(i)
$ a^2+b^2-4c^2 = 2 \, $ .....(ii)
atau $ a^2 + b^2 = 4c^2 + 2 $
$ ab = \frac{3}{2}c^2 \, $ ......(iii)
*). Kuadratkan persamaan (i) :
$\begin{align} a+b & = c + 2 \\ (a+b)^2 & = (c + 2)^2 \\ a^2 + b^2 + 2ab & = c^2 + 4c + 4 \end{align} $
*). Substitusikan pers(ii) dan (iii) ke pers(i) yang sudah dikuadratkan :
$\begin{align} (a^2 + b^2) + 2ab & = c^2 + 4c + 4 \\ (4c^2 + 2) + 2 ( \frac{3}{2}c^2) & = c^2 + 4c + 4 \\ 4c^2 + 2 + 3c^2 & = c^2 + 4c + 4 \\ 6c^2 - 4c - 2 & = 0 \\ (3c+1)(c-1) & = 0 \\ c = -\frac{1}{3} \vee c & = 1 \end{align} $
Yang ada di optionnya adalah $ c = 1 $.
Jadi, nilai $ c = 1. \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Sudut Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=5:2$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ -\frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ B). $ -\frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ C). $ \frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ D). $ \frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ E). $ \frac{7\sqrt{11}}{55} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $
*). Hubungan kuadran :
$ \sin (180^\circ - x) = \sin x $
*). Sudut berpelurus jumlahnya $ 180^\circ $
*). Sifat eksponen :
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ dan $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :

Misalkan panjang rusuk kubus $ = 7 $
-). Sudut terkecil yang dibentuk CG dan PBD adalah $ \angle QPC $
-). SUdut terbesar yang dibentuk CG dan PBD adalah $ \angle QPG = \alpha $
-). Panjang $ AC = 7\sqrt{2} $
-). Panjang $ QC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} . 7\sqrt{2} = \frac{7}{2}\sqrt{2} $
-). Pada segitiga QPC siku-siku di C :
$ \begin{align} QP & = \sqrt{QC^2 + CP^2} \\ & = \sqrt{(\frac{7}{2}\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{ \frac{98}{4} + 25} \\ & = \sqrt{ \frac{198}{4} } = \sqrt{ \frac{9 \times 22}{4} } = \frac{3}{2} \sqrt{22} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga QPC :
$\begin{align} \sin \angle QPC & = \frac{QC}{QP} \\ & = \frac{\frac{7}{2}\sqrt{2}}{ \frac{3}{2} \sqrt{22} } = \frac{7\sqrt{2}}{3\sqrt{22}} \\ & = \frac{7\sqrt{2}}{3 . \sqrt{2} . \sqrt{11}} \\ & = \frac{7 }{3 \sqrt{11}} \, \, \, \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = \frac{7\sqrt{11} }{33} \end{align} $
*). Menentukan besar $ \sin \alpha $ :
$\begin{align} \angle QPG + \angle QPC & = 180^\circ \\ \angle QPG & = 180^\circ - \angle QPC \\ \angle \alpha & = 180^\circ - \angle QPC \\ \sin \angle \alpha & = \sin ( 180^\circ - \angle QPC ) \\ & = \sin \angle QPC \\ & = \frac{7\sqrt{11} }{33} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{7\sqrt{11} }{33} . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang Irisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

Pada balok ABCD.EFGH, dengan $ AB = 6, \, BC = 3 $ , dan $ CG = 2 $ , titik M, N, dan O masing-masing terletak pada rusuk EH, FG, dan AD. Jika $ 3EM = EH $ , $ FN = 2NG $ , $ 3DO = 2DA $ , dan $ \alpha $ adalah bidang irisan balok yang melalui M, N, O, perbandingan luas bidang $ \alpha $ dengan luas permukaan balok adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{35}}{36} \, $ B). $ \frac{\sqrt{37}}{36} \, $ C). $ \frac{\sqrt{38}}{36} \, $ D). $ \frac{\sqrt{39}}{36} \, $ E). $ \frac{\sqrt{41}}{36} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan gambar bidang irisan, ada tiga cara yaitu menggunakan sumbu afinitas, perpotongan bidang diagonal, dan perluasan bidang.
*). Luas persegi panjang = panjang $ \, \times \, $ lebar
*). Luas permukaan balok = $ 2(pl + lt + tp) $
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gambar bidang irisan $ \alpha $ seperti berikut.

-).Untuk mengetahui cara melukis bidang irisannya, silahkan ikuti link berikut ini :
"Melukis bidang irisan simak UI 2018"
-). Bidang $ \alpha $ berbentuk persegipanjang dengan panjang PO dan lebar NP dimana $ NP = 2 $.
-). Menentukan panjan PO pada segitiga POX yang siku-siku di X :
$\begin{align} PO & = \sqrt{OX^2 + XP^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37} \end{align} $
*). Menentukan luas bidang irisannya
$\begin{align} \text{Luas } \alpha & = PO \times NP \\ & = \sqrt{37} \times 2 \\ & = 2\sqrt{37} \end{align} $
*). Menentukan luas permukaan balok : $ p = 6, l = 3, t = 2 $
$\begin{align} \text{Luas balok } & = 2(pl + lt + tp) \\ & = 2(6.3 + 3.2 + 2.6) \\ & = 2(18 + 6 + 12) \\ & = 2.36 = 72 \end{align} $
*). Menentukan perbandingan luasnya :
$\begin{align} \frac{\text{Luas } \alpha }{\text{Luas balok}} & = \frac{2\sqrt{37} }{72} = \frac{\sqrt{37} }{36} \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya adalah $ \frac{\sqrt{37} }{36} . \, \heartsuit $

Melukis Bidang Irisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal Bidang Irisan

Pada balok ABCD.EFGH, dengan $ AB = 6, \, BC = 3 $ , dan $ CG = 2 $ , titik M, N, dan O masing-masing terletak pada rusuk EH, FG, dan AD. Diketahui $ 3EM = EH $ , $ FN = 2NG $ , $ 3DO = 2DA $ , dan $ \alpha $ adalah bidang irisan balok yang melalui M, N, O. Buatlah bidang irisan $ \alpha $ yang dimaksud pada soal ini!

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara untuk melukis bidang irisan pada bangun ruang adalah dengan perpotongan bidang diagonal.
Untuk lebih detail tentang materinya silahkan klik link berikut ini :
"Melukis bidang irisan melalui perpotongan bidang diagonal"

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gambar bidang irisannya adalah seperti berikut ini.

*). Langkah-langkah menentukan bidang irisan di atas yaitu :
1). buat bidang diagonal melalui titik M yaitu EBCH
2). buat bidang diagonal melalui titik O yaitu AFGD
3). bidang diagonal EBCH dan AFGD berpotongan disepanjang garis KL
4). hubungkan titik O dan N dimana garis ON memotong garis KL di Q
5). perpanjang garis MQ sehingga memotong BC di P
6). bidang irisannya adalah bidang MNPO.

Seperti itulah langkah-langkah untuk menentukan atau menggambar bidang irisan pada bangun ruang untuk soal di atas.

Pembahasan Integral Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ \int \limits_{-2}^0 \left( \cos ( -\pi kx) + \frac{6x^2 - 10x + 7}{k+2} \right) dx = (k-2)(k+7) $ untuk nilai $ k $ bilangan bulat, maka $ k + 5 = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus integral :
$ \int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \int \cos ax \, dx = \frac{1}{a} \sin ax + c $
*). Sifat integral tentu :
$ \int \limits_a^b ( f(x) + g(x)) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
*). untuk $ k $ bilangan bulat, maka $ \sin ( 2\pi k ) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} \int \limits_{-2}^0 \left( \cos ( -\pi kx) + \frac{6x^2 - 10x + 7}{k+2} \right) dx & = (k-2)(k+7) \\ \int \limits_{-2}^0 \cos ( -\pi kx) dx + \int \limits_{-2}^0 \, \frac{6x^2 - 10x + 7}{k+2} dx & = (k-2)(k+7) \\ \int \limits_{-2}^0 \cos ( -\pi kx) dx + \frac{1}{k+2} \int \limits_{-2}^0 \, 6x^2 - 10x + 7 dx & = (k-2)(k+7) \\ \frac{1}{-\pi k} [\sin ( -\pi kx) ]_{-2}^0 + \frac{1}{k+2} [ 2x^3 - 5x^2 + 7x ]_{-2}^0 & = (k-2)(k+7) \\ \frac{1}{-\pi k} [0 - 0 ] + \frac{1}{k+2} [50 ] & = (k-2)(k+7) \\ 0 + \frac{50}{k+2} & = (k-2)(k+7) \\ \frac{50}{k+2} & = (k-2)(k+7) \\ (k+2)(k-2)(k+7) & = 50 \\ \end{align} $
terpenuhi untuk $ k = 3 $
Sehingga nilai $ k + 5 = 3 + 5 = 8 $
Jadi, nilai $ k + 5 = 8. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} = ... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{128} \, $ C). $ \frac{1}{256} \, $ D). $ \frac{1}{512} \, $ E). $ \frac{1}{1024} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
(pembilang dan penyebut masing-masing diturunkan).
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limit dengan turunan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{ \frac{3}{2\sqrt{x}} }{2\sqrt{3\sqrt{x}-2}} }{ 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{ 3 }{4\sqrt{x}\sqrt{3\sqrt{x}-2}} }{ 2x} \\ & = \frac{\frac{1}{2\sqrt{4}} - \frac{ 3 }{4\sqrt{4}\sqrt{3\sqrt{4}-2}} }{ 2.4} \\ & = \frac{\frac{1}{2.2} - \frac{ 3 }{4.2\sqrt{3.2-2}} }{ 8 } \\ & = \frac{\frac{1}{4} - \frac{ 3 }{8\sqrt{4}} }{ 8 } \\ & = \frac{\frac{1}{4} - \frac{ 3 }{16} }{ 8 } \times \frac{16}{16} \\ & = \frac{4 - 3 }{ 128 } = \frac{1}{128} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{128} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu, bisa dengan merasionalkan.
*). Limit bentuk tak tentu adalah limit yang hasilnya $ \frac{0}{0} $
*). Perkalian bentuk akar pada merasionalkan :
$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limit dengan merasionalkan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{ x^2 - 16} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x - (3\sqrt{x}-2)}{ ((x-4)(x+4))(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x - 3\sqrt{x} + 2}{ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x+4)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-1)}{ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x+4)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x}-1)}{ (\sqrt{x} + 2)(x+4)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})} \\ & = \frac{(\sqrt{4}-1)}{ (\sqrt{4} + 2)(4+4)(\sqrt{4} + \sqrt{3\sqrt{4}-2})} \\ & = \frac{(2-1)}{ (2 + 2)(8)(2 + \sqrt{3.2-2})} \\ & = \frac{1}{ (4)(8)(2 + \sqrt{4})} = \frac{1}{ 32(2 + 2)} \\ & = \frac{1}{ 32(4)} = \frac{1}{128} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{128} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

Himpunan penyelesaian $ 9 - x^2 \geq |x+3| $ adalah ....
A). $ \{ x \in R : -3 \leq x \leq 3 \} \, $
B). $ \{ x \in R : -3 \leq x \leq 2 \} \, $
C). $ \{ x \in R : x \leq -3 \text{ atau } x \geq 2 \} \, $
D). $ \{ x \in R : 0 \leq x \leq 2 \} \, $
E). $ R $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow 9 - x^2 & \geq |x+3| \\ 9 - 3^2 & \geq |3+3| \\ 0 & \geq 6 \, \, \text{(SALAH)} \\ \end{align}$
yang ada $ x = 3 $ SALAH, opsi yang benar adalah B dan D
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-3 \Rightarrow 9 - x^2 & \geq |x+3| \\ 9 - (-3)^2 & \geq |-3+3| \\ 9 - 9 & \geq |0| \\ 0 & \geq 0 \, \, \text{(BENAR)} \\ \end{align}$
yang ada $ x = -3 $ BENAR, opsi yang benar adalah B
Sehingga opsi yang benar adalah opsi B (yang tersisa).
Jadi, solusinya adalah $ \{ -3 \leq x \leq 2 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nol kan salah satu ruas, kemudian kita tentukan akar-akarnya,
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ < 0 $ , maka pilih daerah negatif,
Jika $ > 0 $ , maka pilih daerah positif.
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
Dari definisi di atas, penyelesaiannya di gabungkan $ ( \cup ) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ 9 - x^2 \geq |x+3| $
*). Definisi nilai mutlak untuk $ | x + 3| $ :
$ |x+3| = \left\{ \begin{array}{cc} x+3 & , \text{ untuk } x \geq -3 \\ -(x+3) & , \text{ untuk } x < -3 \end{array} \right. $
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
-). untuk $ x \geq -3 $ , maka $ |x+3| = x+3 $
$\begin{align} 9 - x^2 & \geq |x+3| \\ 9 - x^2 & \geq x + 3 \\ - x^2 - x + 6 & \geq 0 \\ (-x +2)(x +3) & \geq 0 \\ x = 2 \vee x & = -3 \end{align} $
garis bilangan pertama :

dari syarat $ x \geq -3 $ dan daerah garis bilangan di atas kita peroleh :
$ HP_1 = \{ -3 \leq x \leq 2 \} $
-). untuk $ x < -3 $ , maka $ |x+3| = -(x+3) $
$\begin{align} 9 - x^2 & \geq |x+3| \\ 9 - x^2 & \geq -(x + 3) \\ - x^2 + x + 12 & \geq 0 \\ (-x +3)(x +4) & \geq 0 \\ x = 3 \vee x & = -4 \end{align} $
garis bilangan kedua :

dari syarat $ x < -3 $ dan daerah garis bilangan kedua di atas kita peroleh :
$ HP_2 = \{\, \, \} $ (himpunan kosong)
-). Solusi totalnya adalah gabungan kedua himpunan :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cup HP_2 \\ & = \{ -3 \leq x \leq 2 \} \cup \{\, \, \} \\ & = \{ -3 \leq x \leq 2 \} \end{align} $
Jadi, solusinya $ \{ -3 \leq x \leq 2 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas

DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ x^2 + x - 2 $ bersisa $ ax+b $ dan dibagi $ x^2 - 4x + 3 $ bersisa $ 2bx+a-1 $. Jika $ f(-2) = 7 $ , maka $ a^2 + b^2 = .... $
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa :
$ f(x) \, $ dibagi $ \, (x-a)(x-b) \, $ bersisa $ px + q $
Maka berlaku :
$ f(a) = pa + q $ dan $ f(b) = pb + q $
(substitusi akar-akar pembaginya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertama : Diketahui suku banyak $ f(x) $
Pembaginya : $ x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
Sisa : $ s(x) = ax+b $
-). Menyusun persamaan :
Akar-akar pembaginya adalah $ 1 $ dan $ -2 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f\left( 1 \right) & = s\left( 1 \right) \\ f\left( 1 \right) & = a.1 + b \\ f\left( 1 \right) & = a + b \, \, \, \, \, ....\text{(i)} \\ x = -2 \rightarrow f\left( -2 \right) & = s\left( -2 \right) \\ f\left( -2 \right) & = a.(-2) + b \\ f\left( -2 \right) & = -2a + b \, \, \, \, \, ....\text{(ii)} \end{align} $
*). Kedua : Diketahui suku banyak $ f(x) $
Pembaginya : $ x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) =0 \rightarrow x = 1 \vee x = 3 $
Sisa : $ s(x) = 2bx+a-1 $
-). Akar-akar pembaginya adalah $ 1 $ dan $ 3 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f\left( 1 \right) & = s\left( 1 \right) \\ f\left( 1 \right) & = 2b.1+a-1 \\ f\left( 1 \right) & = a + 2b - 1 \, \, \, \, \, ....\text{(iii)} \end{align} $
*). Ketiga : diketahui $ f(-2) = 7 \, $ ........(iv)
*). Dari pers(ii) dan (iv) :
$ f(-2) = f(-2) \rightarrow -2a + b = 7 \, $ ......(v)
*). Dari pers (i) dan (iii) , serta $ b = 2a + 7 $ :
$\begin{align} f\left( 1 \right) & = f\left( 1 \right) \\ a + b & = a + 2b - 1 \\ b & = 1 \end{align} $
pers(v) : $ -2a + b = 7 \rightarrow -2a + 1 = 7 \rightarrow a = -3 $
Sehingga nilai :
$ a^2 + b^2 = (-3)^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10 $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 = 10. \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Ipa Kode 414

Nomor 1

Nomor 2

Nomor 3

Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $

Nomor 4

Nomor 5

Nomor 6

Nomor 7

Nomor 8

Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $

Nomor 9

Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

Nomor 10

Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 11

Jika $ a+b-c=2 $ , $ a^2+b^2-4c^2 = 2$ , dan $ ab = \frac{3}{2}c^2 $ , maka nilai $ c $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 6 $

Nomor 12

Nomor 13

Nomor 14

Nomor 15

Pages - Menu