Pembahasan Dimensi Sudut Simak UI 2018 Matematika IPA kode 414

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=5:2$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ -\frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ B). $ -\frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ C). $ \frac{7\sqrt{11}}{33} \, $ D). $ \frac{7\sqrt{11}}{44} \, $ E). $ \frac{7\sqrt{11}}{55} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $
*). Hubungan kuadran :
$ \sin (180^\circ - x) = \sin x $
*). Sudut berpelurus jumlahnya $ 180^\circ $
*). Sifat eksponen :
$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ dan $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :

Misalkan panjang rusuk kubus $ = 7 $
-). Sudut terkecil yang dibentuk CG dan PBD adalah $ \angle QPC $
-). SUdut terbesar yang dibentuk CG dan PBD adalah $ \angle QPG = \alpha $
-). Panjang $ AC = 7\sqrt{2} $
-). Panjang $ QC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} . 7\sqrt{2} = \frac{7}{2}\sqrt{2} $
-). Pada segitiga QPC siku-siku di C :
$ \begin{align} QP & = \sqrt{QC^2 + CP^2} \\ & = \sqrt{(\frac{7}{2}\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{ \frac{98}{4} + 25} \\ & = \sqrt{ \frac{198}{4} } = \sqrt{ \frac{9 \times 22}{4} } = \frac{3}{2} \sqrt{22} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga QPC :
$\begin{align} \sin \angle QPC & = \frac{QC}{QP} \\ & = \frac{\frac{7}{2}\sqrt{2}}{ \frac{3}{2} \sqrt{22} } = \frac{7\sqrt{2}}{3\sqrt{22}} \\ & = \frac{7\sqrt{2}}{3 . \sqrt{2} . \sqrt{11}} \\ & = \frac{7 }{3 \sqrt{11}} \, \, \, \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = \frac{7\sqrt{11} }{33} \end{align} $
*). Menentukan besar $ \sin \alpha $ :
$\begin{align} \angle QPG + \angle QPC & = 180^\circ \\ \angle QPG & = 180^\circ - \angle QPC \\ \angle \alpha & = 180^\circ - \angle QPC \\ \sin \angle \alpha & = \sin ( 180^\circ - \angle QPC ) \\ & = \sin \angle QPC \\ & = \frac{7\sqrt{11} }{33} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{7\sqrt{11} }{33} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar