Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) = ...$
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{ax^2 +bx + c} - \sqrt{ax^2 + px + q} ) = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
(syaratnya dengan koefisien $ x^2 $ sama).
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{ab} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai limitnya dengan mengubah bentuk akarnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4}\sqrt{(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( 2\sqrt{(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{(x^2+2x)} + \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left[ ( \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+1}) + ( \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+x}) \right] \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{2}} + \frac{b-p}{2\sqrt{2}} \\ & = \frac{2-0}{2\sqrt{1}} + \frac{2-1}{2\sqrt{1}} \\ & = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar