Pembahasan Turunan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ yang didefinisikan pada interval $ (0, 2\pi) $ mencapai nilai maksimum untuk $ x = .... $
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \frac{3\pi}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = a\sin x \rightarrow y^\prime = a\cos x $
$ y = a\cos x \rightarrow y^\prime = -a\sin x $
*). Nilai maksimum/minimum fungsi $ y = f(x) $ dicapai pada saat $ f^\prime (x) = 0 $
(Turunan pertama fungsinya = 0)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = 3\sin x + 3\cos x \\ f^\prime (x) & = 3\cos x - 3\sin x \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum/minimum : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3\cos x - 3\sin x & = 0 \\ 3\cos x & = 3\sin x \\ \cos x & = \sin x \\ \frac{\sin x}{\cos x} & = 1 \\ \tan x & = 1 \\ \end{align} $
*). Nilai $ x $ yang memenuhi $ \tan x = 1 $ yaitu $ x = \frac{\pi}{4} $ dan $ x = \frac{5\pi}{4} $
*). Cek ke fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ :
$ \begin{align} x = \frac{\pi}{4} \rightarrow f(\frac{\pi}{4}) & = 3\sin \frac{\pi}{4} + 3\cos \frac{\pi}{4} \\ & = 3.\frac{1}{2}\sqrt{2} + 3.\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 3\sqrt{2} \, \, \, \, \, \text{(maks)} \\ x = \frac{5\pi}{4} \rightarrow f(\frac{5\pi}{4}) & = 3\sin \frac{5\pi}{4} + 3\cos \frac{5\pi}{4} \\ & = 3.(-\frac{1}{2}\sqrt{2}) + 3.(-\frac{1}{2}\sqrt{2} ) \\ & = -3\sqrt{2} \, \, \, \, \, \text{(min)} \end{align} $
Jika kita cek ke fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ , maka nilai maksimumnya pada saat $ x = \frac{\pi}{4} $.
Jadi, nilai $ x $ adalah $ x = \frac{\pi}{4} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar