Pembahasan Teorema Sisa Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $ , maka sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ (x-1)(x+1) $ adalah .....
A). $ \frac{-f(-1)}{2}(1+x) \, $ B). $ \frac{-f(-1)}{2}(1-x) \, $
C). $ \frac{f(-1)}{2}(1+x) \, $ D). $ \frac{f(-1)}{2}(1-x) \, $
E). $ \frac{f(-1)}{2}(x-1) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa :
$ f(x) \, $ dibagi $ \, (x-a)(x-b) \, $ bersisa $ px + q $
Maka berlaku :
$ f(a) = pa + q $ dan $ f(b) = pb + q $
(substitusi akar-akar pembaginya).
*). $ f(x) $ habis dibagi $ (x-a) $ artinya sisa = 0
atau bisa kita tulis $ f(a) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertama : Diketahui suku banyak $ f(x) $
-). $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $, artinya $ f(1) = 0 $
*). $ f(x) $ dibagi oleh $ (x-1)(x+1) $ , misalkan sisanya $ ax+b $
Pembaginya : $ (x-1)(x+1) \rightarrow x = 1 \vee x = -1 $
Sisa : $ s(x) = ax+b $
-). Akar-akar pembaginya adalah $ 1 $ dan $ -1 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f\left( 1 \right) & = s\left( 1 \right) \\ 0 & = a.1 + b \\ a & = -b \, \, \, \, \, ....\text{(i)} \\ x = -1 \rightarrow f\left( -1 \right) & = s\left( -1 \right) \\ f(-1) & = a.(-1) + b \\ f(-1) & = -a + b \, \, \, \, \, ....\text{(ii)} \\ \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke (ii) :
$\begin{align} -a + b & = f(-1) \\ -(-b) + b & = f(-1) \\ 2b & = f(-1) \\ b & = \frac{f(-1)}{2} \end{align} $
Pers(i): $ a = -b = - \frac{f(-1)}{2} $
*). Sehingga sisanya :
$\begin{align} s(x) & = ax + b \\ & = -\frac{f(-1)}{2}x + \frac{f(-1)}{2} \\ & = \frac{f(-1)}{2}(-x + 1) \\ & = \frac{f(-1)}{2}(1 - x) \end{align} $
Jadi, sisanya adalah $ \frac{f(-1)}{2}(1 - x) . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar