Pembahasan Logaritma UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 > 0 $ dengan $ 0 < a < 1 $ adalah ....
A). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-1} $
B). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-2} $
C). $ a^2 < x < a^{-1} $
D). $ a^2 < x < a^{-2} $
E). $ a^{-2} < x < a^2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pertidaksamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki penyelesaian :
jika $ a > 1 $, maka $ f(x) > g(x) \, \, $ (tetap)
jika $ 0 < a < 1 $, maka $ f(x) < g(x) \, \, $ (dibalik)
*). Sifat logaritma : $ x = {}^a \log a^x $
*). Notasi logaritma : $ {}^a \log b = \log _a b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ {}^a \log x = p $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$\begin{align} \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 & > 0 \\ \left( {}^a \log x \right)^2 - {}^a \log x \, - 2 & > 0 \\ p^2 - p - 2 & > 0 \\ (p -2)(p+1) & > 0 \\ p = 2 \vee p & = -1 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusinya : $ p< -1 \vee p > 2 $.
Kita ubah dalam bentuk $ x $ :
Karena nilai $ 0 < a < 1 $ , maka ketaksamaan diubah.
$\begin{align} p< -1 & \vee p > 2 \\ {}^a \log x < -1 & \vee {}^a \log x > 2 \\ {}^a \log x < {}^a \log a^{-1} & \vee {}^a \log x > {}^a \log a^2 \\ x > a^{-1} & \vee x < a^2 \end{align} $
Jadi, penyelesaiaan adalah $ x < a^2 \vee x > a^{-1} . \, \heartsuit $

2 komentar:

  1. Maaf mau tanya, kenapa itu berubah tanda ya? Bukanya harusnya
    x>a² v x<a^-1?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Saia,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

      ketaksamaannya dibalik karena basisnya $ 0 < a < 1 $.

      Coba ingat lagi tentang pertidaksamaan logaritma atau lihat konsep dasar di atas ya.

      semoga bisa membantu.

      Hapus