Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan $ \angle BAC = \alpha $. Titik $ C_1 $ merupakan titik sehingga $ \Delta ACC_1 $ siku-siku di C dan $ \angle CAC_1 = \alpha $. Titik $ C_2 $ dipilih sehingga $ \Delta AC_1C_2 $ siku-siku di $ C_1 $ dan $ \angle C_1AC_2 = \alpha $ , dan seterusnya. Panjang $ AC_1 $ , $ AC_2 $ , $ AC_3 $ , ..., merupakan barisan geometri dengan suku pertama $ a $ dan rasio $ r $. Nilai $ \frac{a}{r} $ adalah ....

A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \cos x = \frac{samping}{miring} $
*). Barisan geometri : $ u_1, u_2, u_3, .... $
Rasionya ($r$) : $ r = \frac{u_2}{u_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan segitiga ABC siku-siku di B :
$\begin{align} AC & = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \end{align} $
Nilai $ \cos \alpha = \frac{AB}{AC} \rightarrow \cos \alpha = \frac{4}{5} $
Nilai $ \cos \alpha $ ini kita gunakan juga pada segitiga $ACC_1$ dan $ AC_1C_2 $.
*). Perhatikan segitiga $ ACC_1$ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{AC}{AC_1} \\ \frac{4}{5} & = \frac{5}{AC_1} \\ AC_1 & = \frac{25}{4} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga $ AC_1C_2$ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{AC_1}{AC_2} \\ \frac{4}{5} & = \frac{\frac{25}{4}}{AC_2} \\ AC_2 & = \frac{125}{16} \end{align} $
*). Barisan geometrinya : $ AC_1 $ , $ AC_2 $ , $ AC_3 $ , ....
Sehingga $ a = u_1 = AC_1 = \frac{25}{4} $
$ u_2 = AC_2 = \frac{125}{16} $
*). Menentukan nilai $ r $ (rasionya) :
$\begin{align} r & = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\frac{125}{16}}{\frac{25}{4}} = \frac{125}{16} . \frac{4}{25} = \frac{5}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \frac{a}{r} $ :
$\begin{align} \frac{a}{r} & = \frac{\frac{25}{4} }{ \frac{5}{4}} = \frac{25}{4} . \frac{4}{5} = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{a}{r} = 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar