Pembahasan Penggunaan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ m $ dan $ M $ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + a $ , dengan $ M + m = 3 $ , maka $ f(2) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Uji turunan kedua :
Misalkan $ x_1 $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ , Cek ke $ f^{\prime \prime }(x) $ yaitu :
Jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka $ x_1 $ menyebabkan minimum
Jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka $ x_1 $ sebagai titik belok
Jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka $ x_1 $ menyebabkan maksimum

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = 2x^3 - 3x^2 + a \\ f^\prime (x) & = 6x^2 - 6x \\ f^{\prime \prime } (x) & = 12x - 6 \end{align} $
*). Syarat $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 6x^2 - 6x & = 0 \\ 6x(x-1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Cek ke turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 12x - 6 $
$\begin{align} x & = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 12.0 - 6 = -6 <0 \\ & \text{(jenisnya maksimum)} \\ x & = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (1) = 12.1 - 6 = 6 > 0 \\ & \text{(jenisnya minimum)} \end{align} $
Artinya kita peroleh $ f(x) $ minimum saat $ x = 1 $ dan maksimum saat $ x = 0 $.
*). Menentukan bentuk $ m $ dan $ M $ :
$\begin{align} f(x) & = 2x^3 - 3x^2 + a \\ m = f(1) & = 2.1^3 - 3.1^2 + a \\ & = -1 + a \\ M = f(0) & = 2.0^3 - 3.0^2 + a \\ & = a \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ M + m = 3 $ :
$\begin{align} M + m & = 3 \\ a + (-1 + a) & = 3 \\ 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align} $
sehingga $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + a = 2x^3 - 3x^2 + 2 $
*). Menentukan nilai $ f(2) $ :
$\begin{align} f(2) & = 2.2^3 - 3.2^2 + 2 \\ & = 16 - 12 + 2 = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(2) = 6 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar