Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ adalah sudut, dengan $ 90^\circ < x < 180^\circ $, dan $ 4 - 2\cos ^2 x = 5\sin x $ , maka $ \cos x = .... $
A). $ -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2\sqrt{2} } \, $ E). $ -\frac{1}{2\sqrt{3} } $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Rentangan nilai $ \sin x $ yaitu :
$ -1 \leq \sin x \leq 1 $
*). Hubungan kuadran :
$ \cos ( 180^\circ - \theta ) = - \cos \theta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan $ 4 - 2\cos ^2 x = 5\sin x $ dengan $ 90^\circ < x < 180^\circ $ (Kuadran II).
*). Menyelesaikan persamaannya dengan pemfaktoran :
$\begin{align} 4 - 2\cos ^2 x & = 5\sin x \\ 4 - 2(1 - \sin ^2 x ) & = 5\sin x \\ 4 - 2 + 2 \sin ^2 x & = 5\sin x \\ 2 \sin ^2 x - 5\sin x + 2 & = 0 \\ (2\sin x - 1)(\sin x - 2) & = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \vee \sin x & = 2 \end{align} $
-). Karena nilai $ \sin x $ paling besar 1, maka $ \sin x = 2 $ tidak memenuhi. Sehingga kita peroleh $ \sin x = \frac{1}{2} $ .
-). Untuk $ \sin x = \frac{1}{2} $ , maka $ x = 150^\circ $ (Kuadran II).
*). Menentukan nilai $ \cos x $ dengan $ x = 150^\circ $ :
$\begin{align} \cos x & = \cos 150^\circ \\ & = \cos (180^\circ - 30^\circ ) \\ & = -\cos 30^\circ \\ & = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos x = -\frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar