Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ . Jika $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $ , maka $ a + b = .... $
A). $ -9 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
4). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $
*). Bentuk akar :
$ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ dan $ f(1)=f^\prime (1) = 2 $
Artinya $ f(1) = 2 $ dan $ f^\prime (1) = 2 $
*). Substitusi bentuk $ f(1) = 2 $ :
$\begin{align} f(1) & = 2 \\ \sqrt{1^2-a.1+b} & = 2 \\ \sqrt{1 - a+b} & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1 - a+b & = 4 \\ b & = a + 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan dari $ f(x) = \sqrt{x^2-ax+b} $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{x^2-ax+b} = (x^2 - ax + b)^\frac{1}{2} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{2} . (x^2 - ax + b)^{\frac{1}{2} - 1} . (2x - a) \\ & = \frac{1}{2} . (x^2 - ax + b)^{-\frac{1}{2}} . (2x - a) \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{(x^2 - ax + b)^\frac{1}{2}} . (2x - a) \\ f^\prime (x) & = \frac{2x-a}{2\sqrt{x^2 - ax + b}} \end{align} $
*). Substitusi $ f^\prime (1) = 2 $ dan gunakan $ \sqrt{1 - a+b} = 2 $ :
$\begin{align} f^\prime (1) & = 2 \\ \frac{2.1-a}{2\sqrt{1^2 - a.1 + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2\sqrt{1 - a + b}} & = 2 \\ \frac{2-a}{2.2} & = 2 \\ \frac{2-a}{4} & = 2 \\ 2 - a & = 8 \\ a & = -6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a + 3 = -6 + 3 = -3 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = (-6)+(-3) = -9 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -9 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar