Pembahasan Barisan Matriks UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ (u_n ) $ adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $ a $ dan beda $ b $, dengan $ b > 0 $. Jika $ a - b = 1 $ dan determinan matriks $ \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) $ adalah $ -2 $, maka $ a^2 + b^2 = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, u_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda.
*). Dari rumus suku ke-$n$ , kita dapatkan penjabaran setiap suku :
$ u_1 = a $
$ u_2 = a + b $
$ u_3 = a + 2b $
$ u_4 = a + 3b $
*). Determinan matriks : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Determinan matriks A yaitu : $ det(A) = ad - bc $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan :
$ a - b = 1 \rightarrow a = b + 1 \, $ ...(i)
dengan $ b > 0 $
*). Menyelesaikan determinan matriksnya dan gunakan pers(i) :
$\begin{align} det \left( \begin{matrix} u_1 & u_2 \\ u_3 & u_4 \end{matrix} \right) & = -2 \\ u_1. u_4 - u_2.u_3 & = -2 \\ a(a+3b) - (a+b)(a+2b) & = -2 \\ (b+1)(b+1+3b) - (b+1+b)(b+1+2b) & = -2 \\ (b+1)(4b+1) - (2b+1)(3b+1) & = -2 \\ (4b^2 + 5b + 1) - (6b^2 + 5b + 1) & = -2 \\ -2b^2 & = -2 \\ b^2 & = 1 \\ b & = \pm \sqrt{1} \\ b & = \pm 1 \end{align} $
Karena $ b > 0 $ , maka $ b = 1 $ yang memenuhi.
Sehingga pers(i): $ a = b + 1 = 1 + 1 = 2 $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $
$\begin{align} a^2 + b^2 & = 1^2 + 2^2 \\ & = 1 + 4 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 = 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar