Pembahasan Turunan Maksimum UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan positif $ m $ dan $ n $. Jika $ mx + ny = 1 $ , maka nilai maksimum $ xy $ adalah ....
A). $ \frac{1}{4mn} \, $ B). $ \frac{1}{2mn} \, $ C). $ \frac{1}{mn} \, $ D). $ \frac{2}{mn} \, $ E). $ \frac{4}{mn} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus Dasar Turunan :
1). $ y = k \rightarrow y^\prime = 0 $
2). $ y = kx \rightarrow y^\prime = k $
3). $ y = kx^n \rightarrow y^\prime = n.k.x^{n-1} $
*). Fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum/minimum untuk $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk $ mx + ny = 1 $
$\begin{align} mx + ny & = 1 \\ ny & = 1 - mx \\ y & = \frac{1-mx}{n} \\ y & = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x \end{align} $
*). Misalkan $ f = xy $ , substitusi $ y = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x $
$\begin{align} f & = xy \\ f & = x\left( \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x \right) \\ f & = \frac{1}{n}x - \frac{m}{n}x^2 \\ f^\prime & = \frac{1}{n} - 2.\frac{m}{n}x \\ f^\prime & = 0 \, \, \, \text{(syarat maks)} \\ 0 & = \frac{1}{n} - 2.\frac{m}{n}x \, \, \, \, \text{(kali } n ) \\ 0 & = 1 - 2mx \\ 2mx & = 1 \\ x & = \frac{1}{2m} \end{align} $
Artinya $ f = xy $ maksimum pada saat $ x = \frac{1}{2m} $
*). Menentukan nilai $ y $ :
$\begin{align} y & = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}x = \frac{1}{n} - \frac{m}{n}. \frac{1}{2m} \\ y & = \frac{2}{2n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n} \end{align} $
*). Nilai maksimum dari $ xy $
$\begin{align} xy & = \frac{1}{2m} . \frac{1}{2n} = \frac{1}{4mn} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{1}{4mn} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar