Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Jika $ U_3-U_2=6 $ dan $ U_4-U_2=18 $, maka $ U_5 + U_3 = .... $
A). $ 40 \, $ B). $ 50 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 70 \, $ E). $ 80 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = a.r^{n-1} $
Contoh penjabarannya :
$ u_1 = a, u_2 = ar , u_3 = ar^2, u_4 = ar^3 , .... $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ U_3-U_2=6 $
$\begin{align} U_3-U_2 & =6 \\ ar^2-ar & =6 \\ a(r^2 - r) & = 6 \\ ar(r-1) & = 6 \\ a & = \frac{6}{r(r-1)} \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ U_4-U_2=18 $
$\begin{align} U_4-U_2 & =18 \\ ar^3-ar & =18 \\ ar(r^2 - 1) & = 18 \\ ar(r+1)(r - 1) & = 18 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} ar(r+1)(r - 1) & = 18 \\ \frac{6}{r(r-1)} . r(r+1)(r - 1) & = 18 \\ 6(r+1) & = 18 \\ (r+1) & = 3 \\ r & = 2 \end{align} $
Pers(i): $ a = \frac{6}{r(r-1)} = \frac{6}{2.(2-1)} = \frac{6}{2} = 3 $
*). Menentukan nilai $ U_5 + U_3 $ :
$\begin{align} U_5 + U_3 & = ar^4 + ar^2 \\ & = 3. 2^4 + 3. 2^2 \\ & = 48 + 12 = 60 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_5 + U_3 = 60 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar