Pembahasan Lingkaran UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Bilangan $ A > 0 $ sehingga lingkaran $ x^2+y^2+2x-4Ay+40=0 $ mempunyai jari-jari $ A + 1 $ adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ mempunyai jari-jari :
$ r = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C} $
atau $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C $ atau $ \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C = r^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkarannya $ x^2+y^2+2x-4Ay+40=0 $
-). pada pembahasan ini, sementara kita ganti $ A + 1 $ dengan $ k + 1 $ agar tidak bingung dengan nilai $ A $ pada persamaan lingkarannya, sehingga pesamaannya menjadi : $ x^2+y^2+2x-4ky+40=0 $
$ A = 2 , B = -4k \, $ , dan $ C = 40 $
Diketahui jari-jarinya : $ r = k + 1 $ dengan $ k > 0 $.
*). Menentukan nilai $ k $ :
$\begin{align} \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C & = r^2 \\ \frac{1}{4}.2^2 + \frac{1}{4}.(-4k)^2 - 40 & = (k+1)^2 \\ 1 + \frac{1}{4}.(16k^2) - 40 & = k^2 + 2k + 1 \\ 1 + 4k^2 - 40 & = k^2 + 2k + 1 \\ 3k^2 - 2k - 40 & = 0 \\ (3k+10)(k-4) & = 0 \\ k = -\frac{10}{3} \vee k & = 4 \end{align} $
karena $ k > 0 $ , nilai $ k = 4 $ yang memenuhi.
Sehingga nilai $ A = k = 4 $.
Jadi, nilai $ A = 4 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar