Pembahasan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^\sqrt{5} \log (x-3y) = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y , $ maka $ \frac{x}{y} = .... $
A). $\frac{1}{9} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 18 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Untuk menyelesaikan soal logaritma UM UGM matematika dasar tahun 2016 kode 571 ini, langkah-langkah pengerjaannya yaitu pertama kita sederhanakan persamaan yang ada dengan sifat-sifat dan persamaan logaritma, selanjutnya persamaan yang terbentuk kita bagi dengan $ y^2 \, $ sehingga terbentuk persamaan kuadrat dalam bentuk $ \frac{x}{y} \, $ , setelah itu baru kita faktorkan sehingga kita peroleh nilai $ \frac{x}{y} \, $. Untuk memudahkan dalam pemfaktoran, sebaiknya bentuk $ \frac{x}{y} \, $ kita misalkan dengan variabel $ p $ . Ini adalah pengerjaan dengan cara I. Namun bisa juga kita faktorkan langsung dari persamaan dalam $ x \, $ dan $ y \, $ seperti pada cara II.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Sifat-sifat logaritma :
i). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
ii). $ {}^a \log b = {{}^a}^n \log b^n $
Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Rightarrow f(x) = g(x) $
dengan syarat $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara I
Misalkan $ p = \frac{x}{y} \, $
$ \begin{align} {}^\sqrt{5} \log (x-3y) & = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y \\ {{}^\sqrt{5}}^2 \log (x-3y)^2 & = {}^5 \log (4xy ) \\ {}^5 \log (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = {}^5 \log (4xy ) \\ (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = 4xy \\ x^2 + 9y^2 - 10xy & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } y^2) \\ \frac{x^2 + 9y^2 - 10xy}{y^2} & = \frac{0}{y^2} \\ \frac{x^2}{y^2} + \frac{ 9y^2 }{y^2} - \frac{10xy}{y^2} & = 0 \\ \left( \frac{x}{y} \right)^2 + 9 - 10.\frac{ x }{y } & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } \frac{x}{y} = p ) \\ \left( p\right)^2 + 9 - 10.p & = 0 \\ p^2 - 10p + 9 & = 0 \\ (p - 1)(p+9) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 9 \end{align} $
Syarat logaritma :
Dari bentuk $ {}^\sqrt{5} \log (x-3y) \, $ memiliki syarat $ x - 3y > 0 \, $ sehingga untuk $ p = 1 \rightarrow \frac{x}{y} = 1 \rightarrow x = y \, $ tidak memenuhi. Ini artinya yang memnuhi adalah $ p = 9 \, $ atau $ \frac{x}{y} = 9 $.
Jadi, nilai $ \frac{x}{y} = 9 . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara II
$ \begin{align} {}^\sqrt{5} \log (x-3y) & = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y \\ {{}^\sqrt{5}}^2 \log (x-3y)^2 & = {}^5 \log (4xy ) \\ {}^5 \log (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = {}^5 \log (4xy ) \\ (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = 4xy \\ x^2 + 9y^2 - 10xy & = 0 \\ (x - y)(x - 9y) & = 0 \\ x = y \vee x & = 9y \end{align} $
Syarat logaritma :
Dari bentuk $ {}^\sqrt{5} \log (x-3y) \, $ memiliki syarat $ x - 3y > 0 \, $ sehingga untuk $ x = y \, $ tidak memenuhi. Ini artinya yang memnuhi adalah $ x = 9y $. Sehingga nilai $ \frac{x}{y} = \frac{9y}{y} = 9 $ .
Jadi, nilai $ \frac{x}{y} = 9 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Soal Logaritma UM UGM matematika dasar tahun 2016 kode 571 ini tidak langsung kita kerjakan dengan memperoleh nilai $ x \, $ dan $ y \, $ masing-masing. Dengan memodifikasi menjadi bentuk $ \frac{x}{y} \, $ akan memudahkan kita dalam pengerjaan soalnya seperti pada cara I. Namun bisa juga menggunakan alternatif cara II yaitu kita mencari nilai $ x \, $ dalam $ y $ . Kedua cara di atas tergantung dari cara berpikir kreatif kita masing-masing.
*). Hai teman-teman, jangan lupa komen ya semisal ada perbaikan atau masukan lainnya tentang pembahasan di blog dunia-informa ini. !!!^_^!!! Terima Kasih.



1 komentar: