Pembahasan Persamaan Kuadrat Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Akar persamaan kuadrat $ (a+1) x^2 - 3ax + 4a = 0 \, $ mempunyai dua akar berbeda dan keduanya lebih besar daripada 1, maka nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ a < - 1 \, $ atau $ \, a > 2 \, $ B). $ a < -1 \, $ atau $ \, a > -\frac{1}{2} \, $
C). $ -\frac{16}{7} < a < 0 \, $ D). $ -\frac{16}{7} < a < -1 \, $
E). $ a < -\frac{16}{7} \, $ atau $ \, a > 2 $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Secara umum Logika berpikir dalam pengerjaan soal Persamaan Kuadrat UM UGM tahun 2016 kode 571 ini yaitu kita menggunakan konsep operasi akar-akar dan syarat akar-akar berbeda pada persamaan kuadrat yang keduanya melibatkan konsep pertidaksamaan. Langkah-langkah yang kita lakukan yaitu : (i). nol kan ruas kanan dari $ x_1 > 1 \, $ dan $ x_2 > 1 \, $ menjadi $ x_1 - 1 > 0 \, $ dan $ x_2 - 1 > 0 $. (ii). Dari bentuk (i) kita lakukan operasi akar-akar yaitu untuk penjumlahan dan perkalian, dari ini akan kita peroleh syarat dari nilai $ a \, $ . (iii). Selanjutnya kita terapkan syarat akar-akar berbeda yaitu $ D > 0 \, $ dengan rumus $ D = b^2 - 4ac \, $ sehingga kita peroleh syarat nilai $ a \, $ lagi. (iv). Terakhir, kita iriskan semua syarat nilai $ a \, $ yang kita peroleh, itulah hasil akhir yang akan kita peroleh. Untuk memudahkan mempelajari pembahasannya, sebaiknya teman-teman pelajari juga materi pertidaksamaan pecahan dan pertidaksamaan kuadrat.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
Misalkan ada persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ maka :
Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \, $ dan $ x_1. x_2 = \frac{c}{a} $
Syarat akar-akar berbeda : $ D > 0 \, $ dengan $ D = b^2- 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat $ (a+1)x^2 - 3ax + 4a = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ serta memenuhi $ x_1 > 1 \, , x_2 > 1 $ .
Kita peroleh :
$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3a}{a+1} \, $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4a}{a+1} $ .
*). Mengubah bentuk $ x_1 > 1 \, $ dan $ x_2 > 1 \, $ agar mudah dioperasikan :
$ x_1 > 1 \rightarrow x_1 - 1 > 0 \, $ artinya $ (x_1 - 1) \, $ bernilai positif.
$ x_2 > 1 \rightarrow x_2 - 1 > 0 \, $ artinya $ (x_2 - 1) \, $ bernilai positif.
*). Operasi akar-akar :
Operasi penjumlahan :
$ \begin{align} (x_1 - 1) + (x_2 -1) & > 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{ (positif + positif = positif)} \\ (x_1 + x_2) - 2 & > 0 \\ \frac{3a}{a+1} - 2 & > 0 \\ \frac{3a}{a+1} - \frac{2(a+1)}{a+1} & > 0 \\ \frac{a-2}{a+1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
pembilang, $ (a - 2 ) = 0 \rightarrow a = 2 $
penyebut, $ (a + 1) = 0 \rightarrow a = -1 $ .


sehingga solusinya : HP1 = $ \{ a < -1 \vee a > 2 \} $ .
Operasi perkalian :
$ \begin{align} (x_1 - 1) . (x_2 -1) & > 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{ (positif x positif = positif)} \\ x_1.x_2 - ( x_1 + x_2) + 1 & > 0 \\ \frac{4a}{a+1} - \frac{3a}{a+1} +1 & > 0 \\ \frac{4a}{a+1} - \frac{3a}{a+1} + \frac{a + 1}{a+1} & > 0 \\ \frac{2a + 1}{a+1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
pembilang, $ (2a+1 ) = 0 \rightarrow a = -\frac{1}{2} $
penyebut, $ (a + 1) = 0 \rightarrow a = -1 $ .

sehingga solusinya : HP2 = $ \{ a < -1 \vee a > -\frac{1}{2} \} $ .
*). Syarat dua akar berbeda : $ D > 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & > 0 \\ (-3a)^2 - 4.(a+1).(4a) & > 0 \\ 9a^2 - 16a^2 - 16a & > 0 \\ -7a^2 - 16a & > 0 \\ -a(7a + 16a) &= 0 \\ a = 0 \vee a & = -\frac{16}{7} \end{align} $

sehingga solusinya : HP3 = $ \{ -\frac{16}{7} < a < 0 \} $ .
*). Himpunan penyelesaiannya
$ HP = HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ -\frac{16}{7} < a < -1 \} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ -\frac{16}{7} < a < -1 \} . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Operasi yang dipilih adalah operasi yang memberikan hasil pasti seperti penjumlahan dan perkalian. Misalkan operasi pengurangan, jika dua bilangan positif dikurangkan maka hasilnya belum pasti, bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga operasi pengurangan tidak dilibatkan pada soal ini. Jika ada kekurangan atau masukan atau kritikan atau apaupun terhadap pembahasan yang ada pada blog ini, mohon untuk sharing ya dengan mengisi komentar di bawahnya atau ke email kami. Terima kasih.



1 komentar:

  1. Digambar garis pembilang yang akar-akar ada salah pengetikan seharusnya -1/2 namun malah 1/2. tapi di hasil akhir benar kok.

    BalasHapus