Pembahasan Lingkaran Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui titik $(1,p)$ berada pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 2y = 0 $. Persamaan lingkaran dengan pusat $(1,p)$ dan menyinggung garis $ px+y= 4 \, $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 -2x - 2y - 2 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 -2x - 2y - 1 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 -2x - 2y = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 -2x + 2y - 2 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 -2x + 2y - 1 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Lingkaran
*). Persamaan lingkaran
Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r \, $ adalah
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $.
*). Jarak titik $(x_1,y_1) $ terhadap garis $ mx + ny + c = 0 \, $ adalah
Jarak $ = \left| \frac{m.x_1 + n.y_1 + c}{\sqrt{m^2+n^2}} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $(1,p) $ ke persamaan lingkaran
$ \begin{align} (x,y)=(1,p) \rightarrow x^2 + y^2 - 2y & = 0 \\ 1^2 + p^2 - 2.p & = 0 \\ p^2 - 2p + 1 & = 0 \\ (p-1)^2 & = 0 \\ p-1 & = 0 \\ p & = 1 \end{align} $
Sehingga titik $(1,p) = (1,1) $
*). Jarak titik $(x_1,y_1) = (1,1) $ ke garis $ px + y = 4 \, $ atau $ x + y - 4 = 0 \, $ dengan $ p = 1 $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{m.x_1 + n.y_1 + c}{\sqrt{m^2+n^2}} \right| \\ & = \left| \frac{1.1 + 1.1 - 4}{\sqrt{1^2+1^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-2}{\sqrt{2}} \right| \, \, \, \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = \left| -\sqrt{2} \right| \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jarak titik pusat (1,1) ke garis $ x+y - 4 = 0 \, $ adalah jari-jarinya.
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) = (1,1) \, $ dan jari-jari $ r = \sqrt{2} $
Persamaannya :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2 + (y-1)^2 & = (\sqrt{2})^2 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 & = 2 \\ x^2 + y^2- 2x - 2y + 2 & = 2 \\ x^2 + y^2- 2x - 2y & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2- 2x - 2y = 0 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar