Tampilkan postingan dengan label mat IPA UM UGM 2016 kode 581. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label mat IPA UM UGM 2016 kode 581. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Sistem Persamaan Trigonometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Untuk suatu sudut $ x \, $ dan $ y \, $ berlaku
$ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $
$ \cos ^2 x + \sin ^2 y = \frac{1}{2}a^2 $ .
Jumlah semua nilai $ a \, $ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas adalah .....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Identitas trigonometri :
$ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 $
*). Operasi penjumlahan pada persamaan kuadrat :
$ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
Penjumlahan akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $
$ \cos ^2 x + \sin ^2 y = \frac{1}{2}a^2 $ .
*). Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{align} (\sin ^2 x + \cos ^2 y ) + (\cos ^2 x + \sin ^2 y) & = (\frac{3}{2}a) + (\frac{1}{2}a^2 ) \\ (\sin ^2 x + \cos ^2 x ) + (\cos ^2 y + \sin ^2 y) & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ (1 ) + (1) & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ 2 & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ \frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{2}a - 2 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ a^2 + 3a - 4 & = 0 \\ (a -1)(a+4) & = 0 \\ a_1 = 1 \vee a_2 & = -4 \end{align} $
Perhatikan bentuk sistem persamaan trigonometrinya di atas terutama ruas kirinya. Ruas kiri kedua persamaan berbentuk kuadrat sehingga hasilnya ruas kanan juga positif, yang artinya nilai $ a \, $ haruslah positif juga. Sehingga yang memenuhi hanyalah $ a = 1 \, $ dan $ a = -4 \, $ tidak memenuhi.

Karena nilai $ a \, $ yang memenuhi hanya $ a = 1 \, $ saja, maka jumlahnya adalah 1.

Jadi, tidak ada jawaban pada pilihannya. $ \, \heartsuit $



Pembahasan Peluang Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan berdiri di dalam suatu barisan. Banyaknya cara agar ketiga siswa perempuan berdampingan di barisan tersebut adalah ....
A). $ 720 \, $ B). $ 360 \, $ C). $ 144 \, $ D). $ 72 \, $ E). $ 48 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Ada $ n \, $ orang duduk pada 1 baris, maka ada $ \, n! \, $ cara duduk.
dengan $ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 $.
Contoh : $ 3! = 3 \times 2 \times 1 $ dan $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 $.

Untuk contoh lainnya, teman-teman bisa lihat pada artikel "Permutasi pada Peluang dan Contohnya".

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 4L (4 laki-laki) dan 3P (3 perempuan), agar ketiga perempuan selalu berdampingan, maka kita blok 3 perempuan tersebut menjadi satu (anggap menjadi satu orang atau satu kesatuan). Sehingga sekarang ada 5 orang ( 4L dan 1 blok perempuan) dengan kemungkinan cara duduk ada sebanyak $ 5! \, $ cara duduk.

*). 3P yang kita blok juga bisa diacak lagi posisi duduknya (diantara ketiga perempuan posisi duduknya bisa ditukar-tukar), dengan kemungkinan cara duduk sebanyak $ 3! \, $ cara duduk.

Total cara duduk $ = 3! \times 5! = 720 $

Jadi, total kemungkinan ada 720 cara duduk$. \, \heartsuit $



Pembahasan Integral Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 2 \cos x , \, y = 1, \, $ sumbu X dan sumbu Y adalah ....
A). $ \frac{\pi}{6} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
B). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
C). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
D). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
E). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral Luasan
*). Materi yang harus teman-teman kuasai untuk bisa mengerjakan soal Integral Luasan ini yaitu "Grafik Fungsi Trigonometri" dan "Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral". Silahkan teman-teman ikuti linknya untuk mempelajarinya terlebih dulu.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 

Daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 2 \cos x , \, y = 1, \, $ sumbu X dan sumbu Y ditunjukkan oleh daerah yang diarsir. Untuk memudahkan dalam menghitung luasnya, kita bagi menjadi dua yaitu daerah A yang membentuk persegi panjang dan daerah B.
*). Titik potong kurva $ y = 2 \cos x \, $ dan $ y = 1 $ :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 2 \cos x & = 1 \\ \cos x & = \frac{1}{2} \\ x & = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \end{align} $
*). Menentukan luas daerah arsiran
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_A + L_B \\ & = p \times l + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx \\ & = \frac{\pi}{3} \times 1 + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx \\ & = \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx \end{align} $
Jadi, luas daerahnya adalah $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx . \, \heartsuit $



Pembahasan Turunan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ naik pada $ \{ x \in R | x \leq -2 \} \, $ dan turun pada $ \{ x \in R | x \geq 2 \}$ , maka himpunan semua nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ p \in R | p \geq 2 \} \, $
C). $ \{ p \in R | p > 0 \} \, $
D). $ \{ p \in R | p < 0 \} \, $
E). $ \{ p \in R | p \leq -2 \} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trurunan
*). Syarat fungsi naik dan fungsi turun:
Fungsi $ f(x) \, $ akan naik pada saat $ f^\prime (x) > 0 \, $ dan turun pada saat $ f^\prime (x) < 0 $.
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \rightarrow g^\prime (x) & = p . \frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}} \\ & = \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} \end{align} $

*). Fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ naik pada $ \{ x \leq -2 \} $ , artinya
$ \begin{align} g^\prime (x) > 0 \rightarrow \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} > 0 \end{align} $
Agar $ \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} > 0 \, $ dengan $ x \leq -2 \, $ , maka haruslah nilai $ p \, $ negatif. Sehingga pada kasus fungsi $ g(x) \, $ naik kita peroleh nilai $ p < 0 $ .

*). Fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ turun pada $ \{ x \geq 2 \} $ , artinya
$ \begin{align} g^\prime (x) < 0 \rightarrow \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} < 0 \end{align} $
Agar $ \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} < 0 \, $ dengan $ x \geq 2 \, $ , maka haruslah nilai $ p \, $ negatif. Sehingga pada kasus fungsi $ g(x) \, $ turun kita peroleh nilai $ p < 0 $ .

Kesimpulannya, nilai $ p \, $ yang memenuhi kedua kasus di atas adalah $ p < 0 $.
Jadi, nilai $ p $ negatif atau $ \, \{ p \in R | p < 0 \} . \, \heartsuit $



Pembahasan Limit Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan (2x -6)}{x^2 - x - 6} = ..... $
A). $ -\frac{18}{5} \, $ B). $ -\frac{9}{5} \, $ C). $ \frac{9}{5} \, $ D). $ \frac{18}{5} \, $ E). $ \frac{27}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit
*). Konsep Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan $ \, f(k) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan (2x -6)}{x^2 - x - 6} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan 2(x -3)}{(x+2)(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) }{(x+2)} \times \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{ \tan 2(x -3)}{(x-3)} \\ & = \frac{(3+6) }{(3+2)} \times \frac{ 2 }{1} \\ & = \frac{9}{5} \times 2 \\ & = \frac{18}{5} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \, \frac{18}{5} . \, \heartsuit $



Pembahasan Barisan Aritmatika dan Geometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a, \, 4, \, b \, $ adalah tiga suku berurutan dari barisan aritmatika dan $ a, \, 3, \, b \, $ merupakan tiga suku berurutan suatu barisan geometri, maka $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{8}{9} \, $ E). $ \frac{9}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan aritmatika
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan geometri, maka rasio (perbandingan) sama. Sehingga kita peroleh $ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan aritmatika, maka selisihnya sama. Sehingga kita peroleh $y - x = z - y \rightarrow 2y = x + z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
barisan aritmatika : $ a, 4, b $
$ \begin{align} 2y & = x + z \\ 2.4 & = a + b \\ a + b & = 8 \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ \end{align} $
barisan geometri : $ a,3,b $
$ \begin{align} y^2 & = x.z \\ 3^2 & = a.b \\ ab & = 9 \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \\ \end{align} $
*). Menentukan hasil $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ :
$ \begin{align} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} & = \frac{a+b}{ab} \\ & = \frac{8}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{8}{9} . \, \heartsuit $



Pembahasan Barisan Geometri dan Aritmatika Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ 10, \, x_2, \, x_3, \, x_4 \, $ membentuk barisan geometri. Jika $ x_2 - 10, \, x_3 - 10 \, $ dan $ x_4-x_3-x_2-10 \, $ membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ x_4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{10}{27} \, $ B). $ \frac{5}{4} \, $ C). $ 80 \, $ D). $ 270 \, $ E). $ 640 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan geometri dan aritmatika
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan geometri, maka rasio (perbandingan) sama. Sehingga kita peroleh $ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $
*). Tiga suku $ x, y, z \, $ membentuk barisan aritmatika, maka selisihnya sama. Sehingga kita peroleh $y - x = z - y \rightarrow 2y = x + z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Pertama :
barisan aritmatika : $ x_2 - 10, \, x_3 - 10 \, $ dan $ x_4-x_3-x_2-10 $
$ \begin{align} 2y & = x + z \\ 2(x_3 - 10) & = (x_2 - 10) + (x_4-x_3-x_2-10) \\ 2x_3 - 20 & = x_4-x_3 - 20 \\ x_4 & = 3x_3 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Kedua :
barisan geometri : $ 10, \, x_2, \, x_3, \, x_4 \, $
$ 10, \, x_2, \, x_3 \rightarrow x_2^2 = 10x_3 \, $ ....(ii)
$ x_2, \, x_3, \, x_4 \rightarrow x_3^2 = x_2.x_4 \, $ ....(iii)
*). Substitusi pers(i) ke (iii) :
$ \begin{align} x_3^2 & = x_2.x_4 \\ x_3^2 & = x_2.(3x_3) \\ x_3 & = 3x_2 \, \, \, \, \, \text{....(iv)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iv) ke (ii) :
$ \begin{align} x_2^2 & = 10x_3 \\ x_2^2 & = 10.(3x_2) \\ x_2^2 & = 30x_2 \\ x_2 & = 30 \end{align} $
Sehingga untuk nilai yang lainnya :
pers(iv) : $ x_3 = 3x_2 = 3 . 30 = 90 $
pers(i) : $ x_4 = 3x_3 = 3. 90 = 270 $
Jadi, nilai $ x_4 = 270 . \, \heartsuit $



Pembahasan Persamaan Kuadrat dan Logaritma Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ merupakan akar-akar $ 4x^2-7x + p = 0 \, $ dengan $ x_1 < x_2 $. Jika $ {}^2 \log \left( \frac{1}{3}x_1 \right) = -2 - {}^2 \log x_2 $ , maka $ \, 4x_1 + x_2 = .... $
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan kuadrat (PK) dan logaritma
*). Operasi akar-akar PK $ \, ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ 4x^2 - 7x + p = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $.
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = \frac{p}{4} \, $ ....pers(i)
*). Menyelesaikan logaritmanya untuk menentukan nilai $ p $
$ \begin{align} {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1) & = -2 - {}^2 \log x_2 \\ {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1) + {}^2 \log x_2 & = -2 \\ {}^2 \log (\frac{1}{3}x_1.x_2) & = -2 \\ (\frac{1}{3}x_1.x_2) & = 2^{-2} \\ (\frac{1}{3}. \frac{p}{4}) & = \frac{1}{4} \\ p & = 3 \end{align} $
Sehingga PK menjadi : $ 4x^2 - 7x + p = 0 \rightarrow 4x^2 - 7x + 3 = 0 $ .
*). Menentukan akar-akarnya dengan pemfaktoran :
$ \begin{align} 4x^2 - 7x + 3 & = 0 \\ (4x-3)(x-1) & = 0 \\ x = \frac{3}{4} \vee x & = 1 \end{align} $
Karena $ x_1 < x_ 2 \, $ maka $ x_1 = \frac{3}{4} \, $ dan $ x_2 = 1 $.
*). Menentukan hasil $ 4x_1 + x_2 $ :
$ 4x_1 + x_2 = 4. \frac{3}{4} + 1 = 3 + 1 = 4 $
Jadi, nilai $ 4x_1 + x_2 = 4 . \, \heartsuit $



Pembahasan Logaritma Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi persamaan $ (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} = \log 10 $ , maka $ x_1x_2 = .... $
A). $ 5\sqrt{10} \, $ B). $ 4\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{10} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan eksponen
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
*). sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} \, $ dan $ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara I :
*). Misalkan $ p = {}^{10} \log x = \log x $
$ \begin{align} (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} & = \log 10 \\ (2\, {}^{10} \log x - 1) . {}^{10} \log x & = 1 \\ (2p - 1) .p & = 1 \\ 2p^2 - p - 1 & = 0 \\ (2p +1)(p-1) & = 0 \\ p = -\frac{1}{2} \vee p & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ p = -\frac{1}{2} \rightarrow {}^{10} \log x = -\frac{1}{2} \rightarrow x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} $
$ p = 1 \rightarrow {}^{10} \log x = 1 \rightarrow x_2 = 10^{1} = 10 $
Sehingga nilai :
$ x_1 . x_ 2 = 10^{-\frac{1}{2}} . 10 = 10^{-\frac{1}{2} + 1 } = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II :
*). Bagaimana kalau bentuk $ 2p^2 - p - 1 = 0 \, $ tidak bisa difaktorkan? Kita gunakan alternatif cara kedua ini.
Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $.
*). Misalkan akar-akar dari $ 2p^2 - p - 1 = 0 \, $ adalah $ p_1 \, $ dan $ p_2 \, $ dengan $ p_1 = {}^{10} \log x_1 \, $ dan $ p_2 = {}^{10} \log x_2 $.
*). Kita gunakan operasi penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat :
$ 2p^2 - p - 1 = 0 $
$\begin{align} p_1 + p_2 & = \frac{-b}{a} \\ {}^{10} \log x_1 + {}^{10} \log x_2 & = \frac{-(-1)}{2} \\ {}^{10} \log (x_1.x_2) & = \frac{1}{2} \\ (x_1.x_2) & = 10^\frac{1}{2} \\ (x_1.x_2) & = \sqrt{10} \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1.x_2 = \sqrt{10} . \, \heartsuit $



Pembahasan Polinomial Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suku banyak $ P(x) \, $ jika dibagi dengan $(x^2 - 2x) $ sisanya $ 2 - 3x \, $ dan jika dibagi $(x^2+x-2) \, $ sisanya $ x+ 2 $. Jika $P(x) $ dibagi dengan $(x^2-3x+2)$, maka sisanya adalah ....
A). $ x - 10 \, $ B). $ -x+10 \, $
C). $ -7x - 10 \, $ D). $ 7x-10 \, $
E). $ -7x+10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Suku Banyak atau polinomial
*). Teorema sisa
$ \frac{f(x)}{x-a} \rightarrow \text{ sisa } = f(a) $
artinya sisanya diperoleh dengan mengganti $ x = a \, $ yaitu akar dari pembaginya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Pertama : $P(x) : (x^2 - 2x) \, $ bersisa $(2-3x) $.
$ \frac{P(x)}{x^2-2x} = \frac{P(x)}{x(x-2)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(0) \\ \text{sisa} = P(2) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ 2-3x \, $ , kita peroleh :
$ \text{sisa} = P(0) \rightarrow P(0) = 2 - 3 \times 0 \rightarrow P(0) = 2 $
$ \text{sisa} = P(2) \rightarrow P(2) = 2 - 3 \times 2 \rightarrow P(2) = -4 $
Kedua : $P(x) : (x^2 + x - 2) \, $ bersisa $(x+2) $.
$ \frac{P(x)}{x^2 + x - 2} = \frac{P(x)}{(x-1)(x+2)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(1) \\ \text{sisa} = P(-2) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ x + 2 \, $ , kita peroleh :
$ \text{sisa} = P(1) \rightarrow P(1) = 1 + 2 \rightarrow P(1) = 3 $
$ \text{sisa} = P(-2) \rightarrow P(2) = -2 + 2 \rightarrow P(-2) = 0 $

*). Menentukan sisa pembagian $ P(x) \, $ dengan $ x^2 -3x + 2 $ :
Karena pembaginya pangkat dua, maka sisanya pangkat satu. Misalkan sisanya adalah $ ax + b \, $ dan kita gunakan yang kita peroleh sebelumnya yaitu $ P(0)=2, \, P(2)=-4, \, P(1) = 3, \, P(-2) = 0 $.

$P(x) : (x^2 -3x + 2 ) \, $ bersisa $(ax+b) $.
$ \frac{P(x)}{x^2 -3x + 2 } = \frac{P(x)}{(x-1)(x-2)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(1) \\ \text{sisa} = P(2) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ ax+b \, $ , kita peroleh :
$ \text{sisa} = P(1) \rightarrow P(1) = a.1 + b \rightarrow 3 = a + b \, $ ...(i)
$ \text{sisa} = P(2) \rightarrow P(2) = a.2 + b \rightarrow -4 = 2a + b \, $ ...(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$ \begin{array}{cc} a + b = 3 & \\ 2a + b = -4 & - \\ \hline -a = 7 & \\ a = -7 & \end{array} $
Pers(i) : $ a + b = 3 \rightarrow -7 + b = 3 \rightarrow b = 10 $
Sehingga sisanya : sisa = $ ax+b = -7x + 10 $.
Jadi, sisa pembagian $P(x) $ oleh $ x^2 -3x + 2 $ adalah $ -7x+10 . \, \heartsuit $



Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x \, $ yang memenuhi $|x+1| > x+3 \, $ dan $ \, |x+2| < 3 \, $ adalah ....
A). $ x < -2 \, $ B). $ -5 < x < -2 \, $
C). $ x > -5 \, $ D). $ -5 < x < 1 $
E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Nilai Mutlak
*). Definisi nilai mutlak :
$|f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Sifat pertidaksamaan mutlak :
$ |f(x)| < a \rightarrow -a < f(x) < a $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan bentuk $ |x+1| > x+ 3 $
Definisi nilai mutlaknya :
$|x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} x+1 & , x+1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 \\ -(x+1) & ,x+1< 0 \rightarrow x < -1 \end{array} \right. $
Pertama untuk $ x \geq -1, \, |x+1| = x+1 $
$ \begin{align} |x+1| & > x+ 3 \\ x + 1 & > x+ 3 \\ 1 & > 3 \, \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align} $
Artinya tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi untuk $ x \geq -1 $.
Kedua untuk $ x < -1 , \, $ maka $ |x+1| = -(x+1) $.
$ \begin{align} |x+1| & > x+ 3 \\ -(x + 1) & > x+ 3 \\ -x - 1 & > x+ 3 \\ -2x & > 4 \, \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & < - 2 \end{align} $
Untuk $ x < -1 , \, $ yang memenuhi adalah $ x < -2 $
sehingga HP1 = $\{ x < -2 \} $.
*). Menyelesaikan bentuk $ |x+2| < 3 \, $ dengan sifat pertidaksamaan mutlak
$ \begin{align} |x+2| & < 3 \\ -3< & x + 2 < 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kurangkan 2)} \\ -3 - 2 < & x + 2 -2 < 3 -2 \\ -5 < & x < 1 \end{align} $
sehingga HP2 = $\{ -5 < x < 1 \} $.
*). Karena nilai $ x \, $ harus memenuhi bentuk $|x+1| > x+3 \, $ dan $ \, |x+2| < 3, \, $ maka kita iriskan kedua HP.
HP = HP1 $ \cap \, $ HP2 = $ \{ -5 < x < -2 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \, \{ -5 < x < -2 \} . \, \heartsuit $



Pembahasan Dimensi Tiga Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai tinggi sama dengan dua kali panjang sisi ABCD. Jika titik E berada pada garis BC dengan BE:EC=1:1 dan titik F berada pada garis TE dengan TF:FE=1:3, maka panjang proyeksi FE pada ABCD adalah .... kali sisi ABCD.
A). $ \frac{9}{8} \, $ B). $ \frac{5}{8} \, $ C). $ \frac{4}{8} \, $ D). $ \frac{3}{8} \, $ E). $ \frac{1}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Proyeksi garis pada bidang
Silahkan teman-teman baca artikelnya pada materi "Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang".

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 

Misalkan panjang sisi alas adalah $ a \, $ sehingga panjang $EO = \frac{1}{2}a $.
*). Hasil proyeksi FE pada ABCD adalah EG.
*). Menentukan panjang EG dengan konsep kesebangunan antara segitga EFG dan segitiga TEO
$ \begin{align} \frac{EG}{EO} & = \frac{EF}{ET} \\ \frac{x}{\frac{1}{2}a} & = \frac{3}{4} \\ x & = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2}a \\ x & = \frac{3}{8} a \end{align} $
Jadi, panjang proyeksi FE pada ABCD adalah $ \frac{3}{8} \, $ kali sisi ABCD. $ \, \heartsuit $



Pembahasan Vektor Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $\vec{OA} = (1, \, 2) \, $ dan $ \vec{OB}=(2, \, 1)$. Jika titik P terletak pada AB sehingga AP:PB=1:2, maka panjang vektor $\vec{OP} \, $ adalah ....
A). $ \frac{3}{2}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{41} \, $ E). $ \frac{3}{2}\sqrt{41} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor
*). Perbandingan Vektor
Diketahui : $ AP : PB = m:n $
maka $ \vec{OP} = \frac{m\vec{OB} + n\vec{OA}}{m+n} $
*). Panjang Vektor :
Misalkan Vektor $ \vec{a} = (x, \, y) $
Maka panjang vektor $ \vec{a} \, $ adalah $ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan vektor $\vec{OP} $ dengan $ \vec{OA} = (1, \, 2) \, $ dan $ \vec{OB} = (2, \, 1) \, $ dan $ AP:PB=1:2 \, $ artinya $ m:n=1:2$
$ \begin{align} \vec{OP} & = \frac{m\vec{OB} + n\vec{OA}}{m+n} \\ & = \frac{1.(2,1) + 2(1,2)}{1+2} \\ & = \frac{(2,1) + (2,4)}{3} \\ & = \frac{(4,5)}{3} \\ & = \left( \frac{4}{3}, \, \frac{5}{3} \right) \end{align} $
*). Menentukan panjang vektor $\vec{OP} $ :
$ \begin{align} |\vec{OP}| & = \sqrt{\left( \frac{4}{3}\right)^2 + \left( \frac{5}{3} \right)^2} \\ & = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{25}{9} } \\ & = \sqrt{\frac{41}{9} } \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{41} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{OP} \, $ adalah $ \, \frac{1}{3}\sqrt{41} . \, \heartsuit $



Pembahasan Trigonometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ dan $ \, 2\sin ^2 x + \cos ^2 x = \frac{34}{25} , \, $ maka nilai $ \tan x = .... $
A). $-\frac{3}{4} \, $ B). $ -\frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{3}{5} \, $ E). $ \frac{4}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Identitas Trigonometri
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \, $ atau $ \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal dengan identitas trigonometri
$ \begin{align} 2\sin ^2 x + \cos ^2 x & = \frac{34}{25} \\ 2\sin ^2 x + (1 - \sin ^2 x) & = \frac{34}{25} \\ \sin ^2 x & = \frac{34}{25} - 1 \\ \sin ^2 x & = \frac{34}{25} - \frac{25}{25} \\ \sin ^2 x & = \frac{9}{25} \\ \sin x & = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} \\ \sin x & = \pm \frac{3}{5} \end{align} $
Karena $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ (kuadran I), maka nilai sin positif yaitu $ \sin x = \frac{3}{5} $.
*). Dari nilai $ \sin x = \frac{3}{5} = \frac{de}{mi} $, kita buat segitiga siku-sikunya :
 

gambar segitiga siku-sikunya.
Sehingga nilai $ \tan x = \frac{de}{sa} = \frac{3}{4} $
Jadi, nilai $ \tan x = \frac{3}{4} . \, \heartsuit $



Pembahasan Lingkaran Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui titik $(1,p)$ berada pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 2y = 0 $. Persamaan lingkaran dengan pusat $(1,p)$ dan menyinggung garis $ px+y= 4 \, $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 -2x - 2y - 2 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 -2x - 2y - 1 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 -2x - 2y = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 -2x + 2y - 2 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 -2x + 2y - 1 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Lingkaran
*). Persamaan lingkaran
Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r \, $ adalah
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $.
*). Jarak titik $(x_1,y_1) $ terhadap garis $ mx + ny + c = 0 \, $ adalah
Jarak $ = \left| \frac{m.x_1 + n.y_1 + c}{\sqrt{m^2+n^2}} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $(1,p) $ ke persamaan lingkaran
$ \begin{align} (x,y)=(1,p) \rightarrow x^2 + y^2 - 2y & = 0 \\ 1^2 + p^2 - 2.p & = 0 \\ p^2 - 2p + 1 & = 0 \\ (p-1)^2 & = 0 \\ p-1 & = 0 \\ p & = 1 \end{align} $
Sehingga titik $(1,p) = (1,1) $
*). Jarak titik $(x_1,y_1) = (1,1) $ ke garis $ px + y = 4 \, $ atau $ x + y - 4 = 0 \, $ dengan $ p = 1 $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{m.x_1 + n.y_1 + c}{\sqrt{m^2+n^2}} \right| \\ & = \left| \frac{1.1 + 1.1 - 4}{\sqrt{1^2+1^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-2}{\sqrt{2}} \right| \, \, \, \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = \left| -\sqrt{2} \right| \\ & = \sqrt{2} \end{align} $
Jarak titik pusat (1,1) ke garis $ x+y - 4 = 0 \, $ adalah jari-jarinya.
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) = (1,1) \, $ dan jari-jari $ r = \sqrt{2} $
Persamaannya :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2 + (y-1)^2 & = (\sqrt{2})^2 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 & = 2 \\ x^2 + y^2- 2x - 2y + 2 & = 2 \\ x^2 + y^2- 2x - 2y & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2- 2x - 2y = 0 . \, \heartsuit $



Soal dan Pembahasan UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581


Nomor 1
Diketahui titik $(1,p)$ berada pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 2y = 0 $. Persamaan lingkaran dengan pusat $(1,p)$ dan menyinggung garis $ px+y= 4 \, $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 -2x - 2y - 2 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 -2x - 2y - 1 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 -2x - 2y = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 -2x + 2y - 2 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 -2x + 2y - 1 = 0 $
Nomor 2
Jika $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ dan $ \, 2\sin ^2 x + \cos ^2 x = \frac{34}{25} , \, $ maka nilai $ \tan x = .... $
A). $-\frac{3}{4} \, $ B). $ -\frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{3}{5} \, $ E). $ \frac{4}{5} $
Nomor 3
Diketahui vektor $\vec{OA} = (1, \, 2) \, $ dan $ \vec{OB}=(2, \, 1)$. Jika titik P terletak pada AB sehingga AP:PB=1:2, maka panjang vektor $\vec{OP} \, $ adalah ....
A). $ \frac{3}{2}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{41} \, $ E). $ \frac{3}{2}\sqrt{41} $
Nomor 4
Limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai tinggi sama dengan dua kali panjang sisi ABCD. Jika titik E berada pada garis BC dengan BE:EC=1:1 dan titik F berada pada garis TE dengan TF:FE=1:3, maka panjang proyeksi FE pada ABCD adalah .... kali sisi ABCD.
A). $ \frac{9}{8} \, $ B). $ \frac{5}{8} \, $ C). $ \frac{4}{8} \, $ D). $ \frac{3}{8} \, $ E). $ \frac{1}{8} $
Nomor 5
Semua nilai $ x \, $ yang memenuhi $|x+1| > x+3 \, $ dan $ \, |x+2| < 3 \, $ adalah ....
A). $ x < -2 \, $ B). $ -5 < x < -2 \, $
C). $ x > -5 \, $ D). $ -5 < x < 1 $
E). $ x > 1 $
Nomor 6
Diketahui suku banyak $ P(x) \, $ jika dibagi dengan $(x^2 - 2x) $ sisanya $ 2 - 3x \, $ dan jika dibagi $(x^2+x-2) \, $ sisanya $ x+ 2 $. Jika $P(x) $ dibagi dengan $(x^2-3x+2)$, maka sisanya adalah ....
A). $ x - 10 \, $ B). $ -x+10 \, $
C). $ -7x - 10 \, $ D). $ 7x-10 \, $
E). $ -7x+10 $
Nomor 7
Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi persamaan $ (2\log x - 1) \frac{1}{{}^x \log 10} = \log 10 $ , maka $ x_1x_2 = .... $
A). $ 5\sqrt{10} \, $ B). $ 4\sqrt{10} \, $ C). $ 3\sqrt{10} \, $ D). $ 2\sqrt{10} \, $ E). $ \sqrt{10} $

Nomor 8
Diketahui $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ merupakan akar-akar $ 4x^2-7x + p = 0 \, $ dengan $ x_1 < x_2 $. Jika $ {}^2 \log \left( \frac{1}{3}x_1 \right) = -2 - {}^2 \log x_2 $ , maka $ \, 4x_1 + x_2 = .... $
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $
Nomor 9
Diketahui $ 10, \, x_2, \, x_3, \, x_4 \, $ membentuk barisan geometri. Jika $ x_2 - 10, \, x_3 - 10 \, $ dan $ x_4-x_3-x_2-10 \, $ membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ x_4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{10}{27} \, $ B). $ \frac{5}{4} \, $ C). $ 80 \, $ D). $ 270 \, $ E). $ 640 $
Nomor 10
Jika $ a, \, 4, \, b \, $ adalah tiga suku berurutan dari barisan aritmatika dan $ a, \, 3, \, b \, $ merupakan tiga suku berurutan suatu barisan geometri, maka $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{8}{9} \, $ E). $ \frac{9}{8} $
Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan (2x -6)}{x^2 - x - 6} = ..... $
A). $ -\frac{18}{5} \, $ B). $ -\frac{9}{5} \, $ C). $ \frac{9}{5} \, $ D). $ \frac{18}{5} \, $ E). $ \frac{27}{5} $
Nomor 12
Jika fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ naik pada $ \{ x \in R | x \leq -2 \} \, $ dan turun pada $ \{ x \in R | x \geq 2 \}$ , maka himpunan semua nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ p \in R | p \geq 2 \} \, $
C). $ \{ p \in R | p > 0 \} \, $
D). $ \{ p \in R | p < 0 \} \, $
E). $ \{ p \in R | p \leq -2 \} $
Nomor 13
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 2 \cos x , \, y = 1, \, $ sumbu X dan sumbu Y adalah ....
A). $ \frac{\pi}{6} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
B). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
C). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
D). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
E). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
Nomor 14
Empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan berdiri di dalam suatu barisan. Banyaknya cara agar ketiga siswa perempuan berdampingan di barisan tersebut adalah ....
A). $ 720 \, $ B). $ 360 \, $ C). $ 144 \, $ D). $ 72 \, $ E). $ 48 $
Nomor 15
Untuk suatu sudut $ x \, $ dan $ y \, $ berlaku
$ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $
$ \cos ^2 x + \sin ^2 y = \frac{1}{2}a^2 $ .
Jumlah semua nilai $ a \, $ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas adalah .....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $