Pembahasan Sistem Persamaan Trigonometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Untuk suatu sudut $ x \, $ dan $ y \, $ berlaku
$ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $
$ \cos ^2 x + \sin ^2 y = \frac{1}{2}a^2 $ .
Jumlah semua nilai $ a \, $ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas adalah .....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Identitas trigonometri :
$ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 $
*). Operasi penjumlahan pada persamaan kuadrat :
$ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
Penjumlahan akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $
$ \cos ^2 x + \sin ^2 y = \frac{1}{2}a^2 $ .
*). Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{align} (\sin ^2 x + \cos ^2 y ) + (\cos ^2 x + \sin ^2 y) & = (\frac{3}{2}a) + (\frac{1}{2}a^2 ) \\ (\sin ^2 x + \cos ^2 x ) + (\cos ^2 y + \sin ^2 y) & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ (1 ) + (1) & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ 2 & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ \frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{2}a - 2 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ a^2 + 3a - 4 & = 0 \\ (a -1)(a+4) & = 0 \\ a_1 = 1 \vee a_2 & = -4 \end{align} $
Perhatikan bentuk sistem persamaan trigonometrinya di atas terutama ruas kirinya. Ruas kiri kedua persamaan berbentuk kuadrat sehingga hasilnya ruas kanan juga positif, yang artinya nilai $ a \, $ haruslah positif juga. Sehingga yang memenuhi hanyalah $ a = 1 \, $ dan $ a = -4 \, $ tidak memenuhi.

Karena nilai $ a \, $ yang memenuhi hanya $ a = 1 \, $ saja, maka jumlahnya adalah 1.

Jadi, tidak ada jawaban pada pilihannya. $ \, \heartsuit $



6 komentar:

  1. Pak Putu izin tukar pikiran Pak. Saya paham pembahasan bapak.

    Tapi menurut saya keliru Pak kalau misalkan ruas kiri dalam kuadrat maka hasilnya( ruas kanan) itu harus POSITIf.

    Menurut logika saya, kalau ruas kiri dalam bentuk kuadrat maka hasilnya (ruas kanan ) itu NON NEGATIF. Artinya hasilnya(ruas kanan) itu boleh positif atau 0 (non negatif). kalau dimasukkan ke persamaannya a=1 dan a=-4 itu hasilnya 0(non negatif).

    Jadi menurut saya a=-4 dan a=1, keduanya memenuhi

    maka jawabannya : 1 + (-4) = -3 (Option C)

    BalasHapus
  2. Oh iya Pak Putu , saya belum bilang ini sebelumnya.

    Blog bapak , blog yang hebat dan komplit. Ini web matematika dari Indonesia terbaik yang bisa saya temukan. Terimakasih karena telah dan terus mencerdaskan anak bangsa Pak.

    BalasHapus
  3. Hallow @Bobbi,

    Terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

    Blog koma dan blog dunia-informa masih memiliki banyak kekurangan yang harus terus diperbaiki. Maka dari itu perlu masukan dan koreksi dari pembaca. Terimakasih kepada @Bobbi yang selalu aktif bertukar pikiran di sini. Mudah-mudahan pembaca lain juga mau meluangkan waktunya untuk berdiskusi di kolom komentar.

    Kembali ke soal.

    Coba perhatikan persamaan pertama :
    $ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $,
    -). ruas kirinya : $ \sin ^2 x + \cos ^2 y $ selalu bernilai positif karena ada kuadrat dimasing-masing sin dan cos.
    -). ruas kanan : $ \frac{3}{2}a $ juga nilainya harus positif
    sehingga nilai $ a $ harus positif juga ($ a > 0 $).

    Bobbi, jangan hanya fokus pada persamaan kuadrat $ a^2 + 3a - 4 = 0 $, tetapi kita harus melihat soalnya dari bentuk aslinya (soal awalnya).

    Catatan :
    -). Secara konsep, soal ini memang tidak ada jawabannya di option.
    -). Pembuat soal sepertinya lupa melihat kembali bentuk soal aslinya dan hanya berfokus pada $ a $ pada persamaan kuadrat $ a^2 + 3a - 4 = 0 $.

    Jadi, kesimpulannya menurut saya adalah hanya $ a = 1 $ yang memenuhi sesuai dengan soalnya. Pembuat soal juga manusia biasa, terjadi kesalahan itu wajar.

    Seperti itu penjelasannya.

    semoga terus bisa bermanfaat.

    BalasHapus
  4. Menarik sekali ini Pak Putu. Saya tidak memperhatikan kalau ruas kiri bernilai 2 karena sudut x dan y sudah ada nilainya sendiri. Saya malah berpikir seperti di konsep kuadrat aljabar biasa

    Berarti seperti ini Pak. Kita tidak hanya memperhatikan sin^2x + cos ^2 y = 3/2 tapi ruas kiri secara keseluruhan yaitu

    (sin ^2 x + cos ^2 x) + ( sin ^2 y + cos ^2 y) = 3/2 a + 1/2 a^2


    ruas kiri kan harus bernilai positif. nah berarti ruas kanan harus bernilai positif juga. Berarti menurut saya 3/2 a+ 1/2 a^2 harus > 0 bukan a > 0 . Coba masukkan a = -4 dan a = 1 , keduanya menyebabkan 3/2a+1/2a^2>0.

    BalasHapus
  5. Menarik sekali Pak, saya tunggu balasannya. Terimakasih Pak Putu

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Bobbi,

      Terimakasih untuk meluangkan waktu berdiskusi.

      @bobbi, kedua persamaan harus terpenuhi bukan hanya untuk salah satu persamaan. Nilai $ a = -4 $ tidak memenuhi untuk persamaan pertama yaitu :
      $ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2} \times (-4) $
      $ \sin ^2 x + \cos ^2 y = -6 $
      Ruas kiri $ \sin ^2 x + \cos ^2 y $ tidak mungkin bernilai negatif. Jadi, $ a = -4 $ tidak memenuhi.


      Catatan :
      -). Ketika ada sistem persamaan, maka setiap persamaan harus terpenuhi untuk solusi yang ada.
      -). Untuk mengerjakan sistem boleh dengan substitusi atau eliminasi atau jumlah langsung yang penting kita peroleh sesuai harapan pada soal.
      -). Penekanannya pada setiap persamaan yang ada.


      Seperti itu penjelasannya @Bobbi, semoga membantu.

      Tetap semangat belajar.

      Hapus