Pembahasan Turunan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ naik pada $ \{ x \in R | x \leq -2 \} \, $ dan turun pada $ \{ x \in R | x \geq 2 \}$ , maka himpunan semua nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ p \in R | p \geq 2 \} \, $
C). $ \{ p \in R | p > 0 \} \, $
D). $ \{ p \in R | p < 0 \} \, $
E). $ \{ p \in R | p \leq -2 \} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trurunan
*). Syarat fungsi naik dan fungsi turun:
Fungsi $ f(x) \, $ akan naik pada saat $ f^\prime (x) > 0 \, $ dan turun pada saat $ f^\prime (x) < 0 $.
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \rightarrow g^\prime (x) & = p . \frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}} \\ & = \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} \end{align} $

*). Fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ naik pada $ \{ x \leq -2 \} $ , artinya
$ \begin{align} g^\prime (x) > 0 \rightarrow \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} > 0 \end{align} $
Agar $ \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} > 0 \, $ dengan $ x \leq -2 \, $ , maka haruslah nilai $ p \, $ negatif. Sehingga pada kasus fungsi $ g(x) \, $ naik kita peroleh nilai $ p < 0 $ .

*). Fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ turun pada $ \{ x \geq 2 \} $ , artinya
$ \begin{align} g^\prime (x) < 0 \rightarrow \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} < 0 \end{align} $
Agar $ \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} < 0 \, $ dengan $ x \geq 2 \, $ , maka haruslah nilai $ p \, $ negatif. Sehingga pada kasus fungsi $ g(x) \, $ turun kita peroleh nilai $ p < 0 $ .

Kesimpulannya, nilai $ p \, $ yang memenuhi kedua kasus di atas adalah $ p < 0 $.
Jadi, nilai $ p $ negatif atau $ \, \{ p \in R | p < 0 \} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar