Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri Menggunakan Turunan (L'Hopital)
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \tan A \rightarrow y^\prime = A^\prime . \sec ^2 A $.
*). Sudut negatif : $ \sec ^2 (-A) = \sec ^2 A $
*). Penggunaan Turunan pada Limit (L'Hopital)
Bentuk $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $ sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ lagi. Jika hasilnya masih $ \frac{0}{0} $ , maka turunkan lagi pembilang dan penyebutnya.
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \tan A \rightarrow y^\prime = A^\prime . \sec ^2 A $.
*). Sudut negatif : $ \sec ^2 (-A) = \sec ^2 A $
*). Penggunaan Turunan pada Limit (L'Hopital)
Bentuk $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $ sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ lagi. Jika hasilnya masih $ \frac{0}{0} $ , maka turunkan lagi pembilang dan penyebutnya.
$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Menurunkan fungsi trigonometrinya :
$\begin{align} y & = \tan (-x + h) - \tan (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) - (-1).\sec ^2 (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h) \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h} \, \, \, \, \text{(turunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h)}{1} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{4-0^2}} . \frac{\sec ^2 (-x +0) + \sec ^2 (-x-0)}{1} \\ & = \frac{1}{ 2} . (\sec ^2 (-x ) + \sec ^2 (-x ) ) \\ & = \frac{1}{ 2} . (2\sec ^2 (-x ) ) \\ & = \sec ^2 (-x ) \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $
*). Menurunkan fungsi trigonometrinya :
$\begin{align} y & = \tan (-x + h) - \tan (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) - (-1).\sec ^2 (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h) \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h} \, \, \, \, \text{(turunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h)}{1} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{4-0^2}} . \frac{\sec ^2 (-x +0) + \sec ^2 (-x-0)}{1} \\ & = \frac{1}{ 2} . (\sec ^2 (-x ) + \sec ^2 (-x ) ) \\ & = \frac{1}{ 2} . (2\sec ^2 (-x ) ) \\ & = \sec ^2 (-x ) \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.