Kode 245 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P merupakan titik tengah BF, dan Q merupakan titik tengah DC. Jika $\angle PHQ = \theta$, maka $ \cos \theta = .... $
A). $ \frac{2}{15}\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{4}{15}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{2}{5}\sqrt{5} \, $ D). $ \frac{9}{130}\sqrt{65} \, $ E). $ \frac{4}{15}\sqrt{65} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar, misalkan panjang rusuknya 2 (panjang rusuk yang kita pilih bebas jika yang ditanyakan nilai trigonometri atau sudutnya).

*). Menentukan panjang sisi $ \Delta$PHQ :
-). Panjang HP pada segitiga HFP
$ HP = \sqrt{HF^2 + FP^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3 $
-). Panjang HQ pada $ \Delta$HDQ
$ HQ = \sqrt{HD^2 + DQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
-). Panjang BQ pada $ \Delta$BCQ
$ BQ = \sqrt{BC^2 + CQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
-). Panjang PQ pada $ \Delta$BPQ
$ PQ = \sqrt{BQ^2 + BP^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada $ \Delta$PHQ dengan aturan cosinus
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{HQ^2 + HP^2 - PQ^2}{2.HQ.HP} \\ & = \frac{(\sqrt{5})^2 + 3^2 - (\sqrt{6})^2}{2.\sqrt{5}.3} \\ & = \frac{5 + 9 - 6}{6\sqrt{5}} = \frac{8}{6\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}} \\ & = \frac{4}{3\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{4\sqrt{5}}{3 . 5} = \frac{4\sqrt{5}}{15} = \frac{4}{15} \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{4}{15} \sqrt{5} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar