Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Kurva SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung Kurva (PGS) Menggunakan Turunan
*). Persamaan Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik ($x_1,y_1$) yaitu :
$ y - y_1 = m(x- x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Konsep Jarak :
Jarak dua titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$) adalah
Jarak $ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Panjang Sisi Sama
*). Menyusun PGS kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik P($-a,b$) :
Turunannya : $ f^\prime (x) = -2x $
Gradien : $ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (-a) = -2. (-a) = 2a $
PGS di titik $(x_1,y_1) = (-a,b) $ dan $ m = 2a $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x- x_1) \\ y - b & = 2a(x- (-a)) \\ y & = 2ax + 2a^2 + b \end{align} $
*). Titik potong PGS terhadap sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = 2ax + 2a^2 + b \\ y & = 2a . 0 + 2a^2 + b \\ y & = 2a^2 + b \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y nya adalah R($0, 2a^2 + b$).
*). Konstruksi Gambar segitiga PQR nya :
 

*). Karena PQR adalah segitiga sama sisi, maka panjang ketiga sisinya sama :
$ \begin{align} \text{panjang QR } & = \text{ panjang PQ} \\ \sqrt{ (x_R - x_Q)^2 + (y_R-y_Q)^2} & = \sqrt{(x_Q-x_P)^2 + ( y_Q-y_P)^2} \\ \sqrt{ (0 - a)^2 + [(2a^2 + b) - b ]^2} & = \sqrt{(a - (-a))^2 + ( b - b)^2} \\ \sqrt{ a^2 + 4a^4} & = \sqrt{4a^2 + 0} \\ \sqrt{ a^2 + 4a^4} & = \sqrt{4a^2 } \\ a^2 + 4a^4 & = 4a^2 \\ 4a^4 & = 3a^2 \\ 4a^2 & = 3 \\ a^2 & = \frac{3}{4} \\ a & = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \\ a & = \pm \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Nilai $ a $ positif, sehingga yang memenuhi : $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar