Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ adalah fungsi dengan sifat $ f(-x) = f(x) $ dan $ g(-x) = g(x) $. Jika sisa pembagian
$(x-1)f(x) $ oleh $ x^2 - 2x - 3 $ adalah $ x + 3 $ dan sisa pembagian $ (x+2)g(x) $ oleh $ x^2 + 2x - 3 $ adalah
$ x + 5 $ , maka sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2+4x+3$ adalah .....
A). $ -10x - 8 \, $ B). $ -8x - 6 \, $
C). $ -6x - 4 \, $ D). $ -5x - 3 \, $
E). $ -4x - 2 $
A). $ -10x - 8 \, $ B). $ -8x - 6 \, $
C). $ -6x - 4 \, $ D). $ -5x - 3 \, $
E). $ -4x - 2 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.
$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ (x-1)f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 - 2x - 3 $ bersisa $ s(x) = x + 3 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ (x-1)f(x) = (x^2 - 2x - 3).h_1(x) + (x + 3) $
$ (x-1)f(x) = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x-3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 3 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow (x-1)f(x) & = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) \\ (-1-1)f(-1) & = (-1+1)(-1-3)).h_1(-1) + (-1 + 3) \\ -2. f(-1) & = 2 \\ f(-1) & = -1 \\ x = 3 \rightarrow (x-1)f(x) & = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) \\ (3-1)f(3) & = (3+1)(3-3)).h_1(3) + (3 + 3) \\ 2. f(3) & = 6 \\ f(3) & = 3 \end{align} $
Karena $ f(x) = f(-x) $ , maka $ f(-3) = f(3) \rightarrow f(-3) = 3 $.
*). $ (x+2)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 +2x -3 $ dengan sisa $ s(x) = x + 5 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ (x+2)g(x) = (x^2 +2x -3).h_2(x) + (x + 5) $
$ (x+2)g(x) = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x-1)(x+3)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow (x+2)g(x) & = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) \\ (1+2)g(1) & = (1-1)(1+3).h_2(1) + (1 + 5) \\ 3.g(1) & = 6 \\ g(1) & = 2 \\ x = -3 \rightarrow (x+2)g(x) & = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) \\ (-3+2)g(1) & = (-3-1)(-3+3).h_2(-3) + (-3 + 5) \\ -1.g(-3) & = 2 \\ g(-3) & = -2 \end{align} $
Karena $ g(x) = g(-x) $ , maka $ g(-1) = g(1) \rightarrow g(-1) = 2 $.
*). $ xf(x)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + 4x + 3 $ misalkan sisanya $ s(x) = ax + b $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$ xf(x)g(x) = (x^2 + 4x + 3).h_3(x) + (ax+b) $
$ xf(x)g(x) = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x+3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow xf(x)g(x) & = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) \\ -1.f(-1)g(-1) & = (-1+1)(-1+3).h_3(-1) + (a.(-1)+b) \\ -1.(-1). 2 & = -a + b \\ 2 & = -a + b \\ b & = a + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ x = -3 \rightarrow xf(x)g(x) & = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) \\ -3.f(-3)g(-3) & = (-3+1)(-3+3).h_3(-3) + (a.(-3)+b) \\ -3.(3). (-2) & = -3a + b \\ -3a + b & = 18 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} b = a + 2 \rightarrow -3a + b & = 18 \\ -3a + (a + 2) & = 18 \\ -2a & = 16 \\ a & = -8 \\ \end{align} $
pers(i) : $ b = a + 2 = -8 + 2 = -6 $.
Sehingga sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2 + 4x + 3 $ adalah $ ax + b = -8x - 6 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ -8x - 6 . \, \heartsuit $
Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.
*). $ (x-1)f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 - 2x - 3 $ bersisa $ s(x) = x + 3 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ (x-1)f(x) = (x^2 - 2x - 3).h_1(x) + (x + 3) $
$ (x-1)f(x) = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x-3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 3 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow (x-1)f(x) & = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) \\ (-1-1)f(-1) & = (-1+1)(-1-3)).h_1(-1) + (-1 + 3) \\ -2. f(-1) & = 2 \\ f(-1) & = -1 \\ x = 3 \rightarrow (x-1)f(x) & = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) \\ (3-1)f(3) & = (3+1)(3-3)).h_1(3) + (3 + 3) \\ 2. f(3) & = 6 \\ f(3) & = 3 \end{align} $
Karena $ f(x) = f(-x) $ , maka $ f(-3) = f(3) \rightarrow f(-3) = 3 $.
*). $ (x+2)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 +2x -3 $ dengan sisa $ s(x) = x + 5 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ (x+2)g(x) = (x^2 +2x -3).h_2(x) + (x + 5) $
$ (x+2)g(x) = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x-1)(x+3)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow (x+2)g(x) & = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) \\ (1+2)g(1) & = (1-1)(1+3).h_2(1) + (1 + 5) \\ 3.g(1) & = 6 \\ g(1) & = 2 \\ x = -3 \rightarrow (x+2)g(x) & = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) \\ (-3+2)g(1) & = (-3-1)(-3+3).h_2(-3) + (-3 + 5) \\ -1.g(-3) & = 2 \\ g(-3) & = -2 \end{align} $
Karena $ g(x) = g(-x) $ , maka $ g(-1) = g(1) \rightarrow g(-1) = 2 $.
*). $ xf(x)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + 4x + 3 $ misalkan sisanya $ s(x) = ax + b $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$ xf(x)g(x) = (x^2 + 4x + 3).h_3(x) + (ax+b) $
$ xf(x)g(x) = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x+3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow xf(x)g(x) & = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) \\ -1.f(-1)g(-1) & = (-1+1)(-1+3).h_3(-1) + (a.(-1)+b) \\ -1.(-1). 2 & = -a + b \\ 2 & = -a + b \\ b & = a + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ x = -3 \rightarrow xf(x)g(x) & = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) \\ -3.f(-3)g(-3) & = (-3+1)(-3+3).h_3(-3) + (a.(-3)+b) \\ -3.(3). (-2) & = -3a + b \\ -3a + b & = 18 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} b = a + 2 \rightarrow -3a + b & = 18 \\ -3a + (a + 2) & = 18 \\ -2a & = 16 \\ a & = -8 \\ \end{align} $
pers(i) : $ b = a + 2 = -8 + 2 = -6 $.
Sehingga sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2 + 4x + 3 $ adalah $ ax + b = -8x - 6 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ -8x - 6 . \, \heartsuit $
Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.