Kode 251 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran $L_1 $ mempunyai jari-jari 5 dengan titik pusat (0,0), sedangkan lingkaran $L_2 $ mempunyai jari-jari 3 dengan titik pusat pada sumbu-x positif. Jika persamaan garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran ini adalah $ 4x + 3y - 25 = 0 $, maka jarak titik pusat kedua lingkaran adalah ....
A). $ 8 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
*). Persamaan lingkaran yang berpusat di ($a,b$) dan jari-jair $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). jarak titik ($p,q$) ke garis $ mx + ny + c = 0 $ :
Jarak $ = \left| \frac{m.p + n.q + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| $
*). Nilai mutlak : $ |A|^2 = A^2 $
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gambar garis singgung $ 4x + 3y - 25= 0 $ :
-). Titik potong sumbu x, substitusi $ y = 0 $
$ 4x + 3y - 25= 0 \rightarrow 4x + 3.0 - 25= 0 \rightarrow 4x = 25 \rightarrow x = \frac{25}{4} $
-). Titik potong sumbu y, substitusi $ x = 0 $
$ 4x + 3y - 25= 0 \rightarrow 4.0 + 3y - 25= 0 \rightarrow 3y = 25 \rightarrow y = \frac{25}{3} $
*). ILustrasi gambar lingkaran dan garis singgung dalam :
 

Misalkan pusat lingkaran kedua (L2) adalah $(a,b) = (p,0) $ dengan $ p > \frac{25}{4} $.
*). Menentukan nilai $ p $ dengan jarak pusat lingkaran ($p,0$) ke garis $ 4x + 3y - 25= 0 $ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{mx + ny + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| \\ 3 & = \left| \frac{4x + 3y - 25= 0}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right| \\ 3 & = \left| \frac{4.p + 3.0 - 25}{\sqrt{16 + 9}} \right| \\ 3 & = \left| \frac{4p - 25}{5} \right| \\ 15 & = \left| 4p -25 \right| \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 15^2 & = \left| 4p -25 \right|^2 \\ 15^2 & = (4p -25 )^2 \\ 0 & = (4p -25 )^2 - 15 ^2 \\ 0& = (4p -25 + 15)(4p -25 - 15) \\ 0 & = (4p -10)(4p -40) \\ p & = \frac{10}{4} \vee p = 10 \end{align} $
Yang memenuhi adalah $ p = 10 $ karena $ p > \frac{25}{4} $, sehingga pusat lingkaran kedua (L2) adalah ($a,b) = (10,0$).
*). Jarak kedua pusat lingkaran yaitu $(0,0)$ dan $(10,0)$ :
$\begin{align} \text{Jarak } & = \sqrt{(0-0)^2 + (10-0)^2} \\ & = \sqrt{100} = 10 \end{align} $
Jadi, jarak titik pusat kedua lingkaran adalah $ 10 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar