Kode 251 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ adalah fungsi dengan sifat $ f(-x) = -f(x) $ dan $ g(-x) = -g(x) $. Jika sisa pembagian $f(x) $ oleh $ x^2 + x - 2 $ adalah $ 2x + 1 $ dan sisa pembagian $ xg(x) $ oleh $ x^2 - x - 2 $ adalah $ 2x - 4 $ , maka sisa pembagian $ (x+1)f(x)g(x) $ oleh $ x^2-3x+2$ adalah .....
A). $ 12x-24 \, $ B). $ 12x+12 \, $
C). $ 24x+12 \, $ D). $ -36x+72 \, $
E). $ 36x-72 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + x - 2 $ bersisa $ s(x) = 2x +1 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = (x^2 + x - 2).h_1(x) + (2x + 1) $
$ f(x) = (x - 1 )(x + 2).h_1(x) + (2x + 1) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x - 1 )(x + 2)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = (x - 1 )(x + 2).h_1(x) + (2x + 1) \\ f(1) & = (1 - 1 )(1 + 2).h_1(1) + (2.1 + 1) \\ f(1) & = 3 \\ x = -2 \rightarrow f(x) & = (x - 1 )(x + 2).h_1(x) + (2x + 1) \\ f(-2) & = (-2 - 1 )(-2 + 2).h_1(-2) + (2.(-2) + 1) \\ f(-2) & = -3 \end{align} $
Karena $ f(-x) = -f(x) $ , maka $ f(-2) = -f(2) \rightarrow -3 = - f(2) \rightarrow f(2) = 3 $.

*). $ xg(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 -x - 2 $ dengan sisa $ s(x) = 2x - 4 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ xg(x) = (x^2 -x - 2).h_2(x) + (2x-4) $
$ xg(x) = (x+1)(x-2).h_2(x) + (2x-4) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x-2)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 2 $
$ \begin{align} x = - 1 \rightarrow xg(x) & = (x+1)(x-2).h_2(x) + (2x-4) \\ -1.g(-1) & = (-1+1)(-1-2).h_2(-1) + (2.(-1)-4) \\ -g(-1) & = -6 \\ g(-1) & = 6 \\ x = 2 \rightarrow xg(x) & = (x+1)(x-2).h_2(x) + (2x-4) \\ 2.g(2) & = (2+1)(2-2).h_2(2) + (2.2-4) \\ 2g(2) & = 0 \\ g(2) & = 0 \end{align} $
Karena $ g(-x) = -g(x) $ , maka $ g(-1) = -g(1) \rightarrow 6 = - g(1) \rightarrow g(1) = -6 $.

*). $ (x+1)f(x)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 -3x + 2 $ misalkan sisanya $ s(x) = ax + b $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$ (x+1)f(x)g(x) = (x^2 -3x + 2 ).h_3(x) + (ax+b) $
$ (x+1)f(x)g(x) = (x-1)(x-2).h_3(x) + (ax+b) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x-1)(x-2)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow (x+1)f(x)g(x) & = (x-1)(x-2).h_3(x) + (ax+b) \\ (1+1)f(1)g(1) & = (1-1)(1-2).h_3(1) + (a.1+b) \\ 2.3.(-6) & = a + b \\ -36 & = a + b \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ x = 2 \rightarrow (x+1)f(x)g(x) & = (x-1)(x-2).h_3(x) + (ax+b) \\ (2+1)f(2)g(2) & = (2-1)(2-2).h_3(2) + (a.2+b) \\ 3.3.0 & = 2a + b \\ 0 & = 2a + b \\ b & = -2a \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $

*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align} b = -2a \rightarrow a + b & = -36 \\ a + (-2a) & = -36 \\ -a & = -36 \\ a & = 36 \\ \end{align} $
pers(ii) : $ b = -2a = -2. 36 = -72 $.
Sehingga sisa pembagian $ (x+1)f(x)g(x) $ oleh $ x^2 -3x + 2 $ adalah $ ax + b = 36x -72 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ 36x -72 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.



Tidak ada komentar:

Posting Komentar