Kode 251 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika vektor $ x = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ didilatasi sebesar $ b $ kali kemudian dirotasi sejauh $ 90^\circ $ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat menjadi vektor $ y $, maka $ ax - y = .... $
A). $a\left( \begin{matrix} a + b \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} a^2 + b^2 \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ C). $ b\left( \begin{matrix} a + b \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ a^2 + b^2 \end{matrix} \right) \, $ E). $ b\left( \begin{matrix} 0 \\ a + b \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor dan Transformasi
*). Pengurangan dua vektor
Misalkan dua vektor $ a = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) \, $ dan $ b = \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) $.
Pengurangan : $ a - b = \left( \begin{matrix} x_1-x_2 \\ y_1-y_2 \end{matrix} \right) $
*). Misalkan transformasi pertama oleh matriks T1 dan dilanjutkan transformasi kedua oleh matriks T2, maka matriks gabungannya adalah : $ MT= T_2 \circ T_1 $.
*). Cara menentukan bayangan pada transformasi :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks gabungan
-). pertama didilatasi sebesar $ b $ kali, artinya $ k = b $ :
$ T_1 = \left( \begin{matrix} b & 0 \\ 0 & b \end{matrix} \right) $
-). kedua, rotasi dengan sudut $ \theta = 90^\circ$
$ T_2 = \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
-). sehingga matriks gabungannya :
$ MT = T_2.T_1 = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} b & 0 \\ 0 & b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -b \\ b & 0 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan (vektor $y$) dengan awalnya vektor $x = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ y & = (MT).x \\ y & = \left( \begin{matrix} 0 & -b \\ b & 0 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -b^2 \\ ab \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ ax - y $ :
$ ax - y = a\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} -b^2 \\ ab \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a^2 \\ ab \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} -b^2 \\ ab \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a^2 + b^2 \\ 0 \end{matrix} \right) $
Jadi, kita peroleh $ ax - y = \left( \begin{matrix} a^2 + b^2 \\ 0 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar