Pembahasan Fungsi Komposisi UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 723

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x+2)=\frac{x+1}{x-2}, x\neq 2 $ dan $ g(x) = x+1$ , maka semua nilai $ y = (f\circ g)(x) $ yang mungkin untuk $ x \geq 6 $ adalah ....
A). $ y \geq 2 \, $
B). $ 1 \leq y \leq 2 \, $
C). $ 0 < y \leq 2 \, $
D). $ -2 \leq y < 2 \, $
E). $ y < -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi komposisi :
$ (f\circ g)(x) = f(g(x)) $.
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri).
*). Limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{a}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ f(x) $ :
Misalkan $ p = x + 2 \rightarrow x = p - 2 $
$\begin{align} f(x+2) & = \frac{x+1}{x-2} \\ f(p) & = \frac{(p-2)+1}{(p-2)-2} \\ f(p) & = \frac{p-1}{p-4} \\ f(x) & = \frac{x-1}{x-4} \end{align} $
*). Menentukan $ y = (f\circ g)(x) $ :
$\begin{align} y & = (f\circ g)(x) \\ y & = f(g(x)) \\ & = f(x+1) \\ & = \frac{(x+1)-1}{(x+1)-4} \\ & = \frac{x}{x-3} \end{align} $
*). Nilai $ y $ untuk $ x \geq 6 $ , artinya kita harus mencari nilai maksimum dan minimum $ y $ untuk $ x \geq 6 $ atau nilai $ x $ ada pada interval $ 6 \leq x \leq \infty $.
*). Menentukan nilai $ y $ pada interval $ 6 \leq x \leq \infty $ :
-). Untuk $ x = 6 $
$ y = \frac{x}{x-3} = \frac{6}{6-3} = \frac{6}{3} = 2 $.
-). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $
$ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x}{x-3} = \frac{1}{1} = 1 $.
*). Kita peroleh nilai maksimum $ y $ adalah 2 dan nilai minimumnya adalah 1 yang dapat kita tulis dalam interval $ 1 \leq y \leq 2 $.
Jadi, semua nilai $ y $ adalah $ 1 \leq y \leq 2 . \, \heartsuit $

3 komentar:

  1. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  2. Pak Putu saya ingin bertanya.

    Menurut saya jawaban yang paling tepat adalah y nya > 1 bukan >sama dengan 1 karena lim nya mendekati 1 bukan tepat di 1. Atau kalau mau pake cara coba-coba, dimasukkan x yang >sama dengan 6 , juga ga ada x yang kalau dimasukkan ke persamaan hasilnya tepat di 1

    bener ga pemikiran seperti itu Pak? Terimakasih

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @bobbi,

      terimakasih untuk analisanya.

      Untuk $ x $ menuju tak hingga, maka ditambah atau dikurangkan dengan angka tertentu tidak akan berpengaruh pada hasil limitnya. Sehingga hasiilnya ada sama dengannya.

      Catatan :
      -). Untuk fungsi yang kontinyu, hasil limitnya sama dengan hasil fungsinya. Artinya meskipun limit itu hanya mendekati akan tetapi hasilnya juga sama dengan nilai fungsinya di $ x $ tersebut.

      Jadi, kesimpulannya kita lihat dulu bentuk fungsinya dan $ x $ menuju/mendekati angka berapa.

      Seperti itu penjelasannya.

      Semoga terus bisa membantu.

      Hapus