Pembahasan Turunan Fungsi UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) = x^2 + 2x - 3 $ , maka nilai dari $ f^\prime (0) $ adalah ....
A). $ -2\frac{1}{4} \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1\frac{3}{4} \, $ D). $ -1\frac{1}{4} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan Fungsi :
*). Turunan fungsi :
$ y = ax^2 \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V - U .V^\prime}{V^2} $
*). Untuk bentuk pecahan $ y = \frac{ax+b}{cx+d} $ ,
turunannya adalah $ y^\prime = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari bentuk $ f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) = x^2 + 2x - 3 $, kita misalkan $ g(x) = \frac{2x+1}{x-3} $ , sehingga turunannya $ g^\prime (x) = \frac{2.(-3) - 1.1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2 } $
*). Menentukan turunan fungsi pada soal :
$\begin{align} f\left( \frac{2x+1}{x-3} \right) & = x^2 + 2x - 3 \\ f\left[ g(x) \right] & = x^2 + 2x - 3 \, \, \, \, \, \, \text{(turunannya)} \\ f^\prime \left[ g(x) \right] . g^\prime (x) & = 2x + 2 \\ f^\prime \left( \frac{2x+1}{x-3} \right) . \frac{-7}{(x-3)^2 } & = 2x + 2 \\ f^\prime \left( \frac{2x+1}{x-3} \right) & = -\frac{1}{7} (x-3)^2 .(2x + 2) \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Agar kita peroleh $ f^\prime (0) $, haruslah :
$\begin{align} \frac{2x+1}{x-3} & = 0 \\ 2x+1 & = 0 \\ 2x & = -1 \\ x & = -\frac{1}{2} \end{align} $
*). Substitusi $ x = -\frac{1}{2} \, $ ke (i) :
$\begin{align} f^\prime \left( \frac{2x+1}{x-3} \right) & = -\frac{1}{7} (x-3)^2 .(2x + 2) \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ f^\prime \left( \frac{2. ( -\frac{1}{2})+1}{ -\frac{1}{2}-3} \right) & = -\frac{1}{7}. ( -\frac{1}{2}-3)^2 .(2.( -\frac{1}{2}) + 2) \\ f^\prime \left( \frac{-1+1}{ -\frac{7}{2}} \right) & = -\frac{1}{7}. ( -\frac{7}{2})^2 .(-1 + 2) \\ f^\prime \left( \frac{0}{ -\frac{7}{2}} \right) & = -\frac{1}{7}. \frac{49}{4} .(1) \\ f^\prime \left( 0 \right) & = - \frac{7}{4} \\ & = - 1\frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime \left( 0 \right) = -1\frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar