Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ S_n $ adalah jumlah $ n $ suku suatu deret geometri yang rasionya $ r $ , maka $ \frac{S_{4n}}{2S_{2n}} = .... $
A). $ r^{2n} $
B). $ \frac{1}{2}(r^{2n} - 1) $
C). $ \frac{1}{2} + r^{2n} $
D). $ \frac{1}{2}(r^{2n} + 1) $
E). $ r^{2n} + 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n $ suku pertama deret geometri ($S_n$) :
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ S_{4n} $ dan $ S_{2n} $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \\ S_{4n} & = \frac{a(r^{4n} - 1)}{r-1} \\ S_{2n} & = \frac{a(r^{2n} - 1)}{r-1} \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} \frac{S_{4n}}{2S_{2n}} & = \frac{\frac{a(r^{4n} - 1)}{r-1}}{2.\frac{a(r^{2n} - 1)}{r-1}} \\ & = \frac{(r^{4n} - 1)}{2(r^{2n} - 1)} \\ & = \frac{((r^{2n})^2 - 1^2)}{2(r^{2n} - 1)} \\ & = \frac{(r^{2n} - 1)(r^{2n} + 1)}{2(r^{2n} - 1)} \\ & = \frac{(r^{2n} + 1)}{2} = \frac{1}{2}(r^{2n} + 1) \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \frac{S_{4n}}{2S_{2n}} = \frac{1}{2}(r^{2n} + 1) . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar