Pembahasan Limit UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \, $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu ( hasilnya $ \frac{0}{0} $ ) dapat dengan merasionalkan.
*). Merasionalkan bentuk $ \sqrt{a} - b $ dengan cara mengalikan :
$ ( \sqrt{a} - b ) (\sqrt{a} + b ) = a - b^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \times \frac{\sqrt{x^2+5} +3}{\sqrt{x^2+5} +3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2+5) -9}{(x^2-2x)(\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2- 4) }{(x^2-2x)(\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x- 2)(x + 2) }{x(x -2 )(\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x + 2) }{x (\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \frac{ (2 + 2) }{2. (\sqrt{2^2+5} +3)} \\ & = \frac{ (4 }{2. (3+3)} \\ & = \frac{ 4 }{12} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar