Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ x_1 $ dan $ x_2 $ merupakan akar dari persamaan $ x^2 - px + (p+2) = 0 $ . Nilai $ x_1^2 + x_2^2 $ minimum bila nilai $ p $ sama dengan ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 $
*). FUngsi $ y = f(x) $ minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ .
(Turunan pertama fungsinya sama dengan nol)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - px + (p+2) = 0 \rightarrow a =1 , b = -p , c = p+2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p $
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p + 1}{1} = p + 1 $
Sehingga nilai :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 \\ & = (p)^2 - 2(p+1) \\ f(p) & = p^2 - 2p - 2 \\ f^\prime (p) & = 2p - 2 \end{align} $
*). Bentuk $ x_1^2 + x_2^2 = f(p) $ minimum pada saat :
$\begin{align} f^\prime (p ) & = 0 \\ 2p - 2 & = 0 \\ p & = 1 \end{align} $
Jadi, $ x_1^2 + x_2^2 $ minimum pada saat $ p = 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar