Pembahasan Program Linear UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Agar fungsi $ f(x,y) = ax + 4y $ dengan kendala $ x + y \geq 12 $ , $ x + 2y \geq 16 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ mencapai minimum hanya di titik $(8,4) $, maka nilai konstanta $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 2 < a < 4 \, $
B). $ 4 < a < 6 \, $
C). $ 4 < a < 8 \, $
D). $ -4 < a < -2 \, $
E). $ -8 < a < -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif (tujuan) terletak hanya di titik perpotongan kedua kendala, maka gradien fungsi objektif ada diantara gradien kedua kendalanya. Bisa ditulis :
$ \, \, \, \, \, m_1 < m_{obj} < m_2 $.
Keterangan :
$ m_1 = \, $ gradien kendala 1,
$ m_2 = \, $ gradien kendala 2,
$ m_{obj} = \, $ gradien fungsi objektif.
*). Graadien dari bentuk $ ax + by $ adalah $ m = - \frac{a}{b} $.
*). Untuk lebih jelasnya tentang teori metode gradien ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "program linear : Nilai optimum dengan metode gradien".
*). Sifat pertidaksamaan :
i). Kali negatif, tanda ketaksamaan dibalik.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan gradien :
$ \begin{align} f(x,y) & = ax + 4y \rightarrow m_{obj} = \frac{-a}{4} \\ x + y & \geq 12 \rightarrow m_1 = -1 \\ x + 2y & \geq 16 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} m_1 < & \, m_{obj} < m_2 \\ -1 < & \, \frac{-a}{4} < -\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali -4, ketaksamaan dibalik)} \\ 4 > & \, a > 2 \end{align} $
atau dapat ditulis $ 2 < a < 4 $.
Jadi, interval $ a $ adalah $ 2 < a < 4 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar