Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 , \, x_2 \, $ akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 = 0 $ dan $ x_1, k , x_2 $ merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $ , dan $ r \neq -1 $ , maka $ x_1 + k + x_2 = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 18 \, $ D). $ 19 \, $ E). $ 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Ciri-cir barisan geomeri : Perbandingan sama
Mislakan ada tiga suku $ x, y, z $ adalah barisan geometri, maka
$ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan Kuadrat : $ x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 = 0 $
$ a = 1, b = -(3k+5) , c = 2k + 3 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = 2k + 3 \, $ ....(i)
*). $ x_1, k , x_2 \, $ membentuk barisan geometri
Sehingga $ k^2 = x_1.x_2 \, $ ....(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} k^2 & = x_1.x_2 \\ k^2 & = 2k + 3 \\ k^2 -2k - 3 & = 0 \\ (k + 1)(k - 3) & = 0 \\ k = -1 \vee k & = 3 \end{align} $
*). Menentukan $ x_1 $ dan $ x_2 $ berdasarkan nilai $ k $ :
-). Pertama, untuk $ k = -1 $ :
$ \begin{align} x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 & = 0 \\ x^2 - (3.(-1)+5)x + 2.(-1) + 3 & = 0 \\ x^2 - 2x + 1 & = 0 \\ (x-1)(x-1) & = 0 \\ x_1 = 1 \vee x_2 & = 1 \end{align} $
Barisannya : $ x_1, k , x_2 \rightarrow 1 , -1 , 1 $
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-1}{1} = -1 $
Tidak memenuhi karena syaratnya $ r \neq -1 $.
-). Kedua, untuk $ k = 3 $ :
$ \begin{align} x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 & = 0 \\ x^2 - (3.3+5)x + 2.3 + 3 & = 0 \\ x^2 - 14x + 9 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ x_1 + x_2 & = \frac{-(-14)}{1} = 14 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x_1 + k + x_2 = (x_1 + x_2) + k = 14 + 3 = 17 $.
Jadi, nilai $ x_1 + k + x_2 = 17 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar