Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Grafik fungsi $ f(x) = (3-m)x^2 + (1-m)x - 2m $ memotong sumbu Y di titik A dan mempunyai sumbu simetri garis $ x = -1 $. Gradien garis melalui titik puncak kurva dan titik A adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $
-). Persamaan sumbu simetrinya : $ x = \frac{-b}{2a} $
-). Titik puncaknya : $(x_p,y_p) $ dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p = f(x_p) $
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ x_2,y_2) $ :
$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} $
*). Untuk mencari titik potong sumbu Y, maka substitusi $ x = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi kuadrat : $ f(x) = (3-m)x^2 + (1-m)x - 2m $
dengan $ a = 3 - m , \, b = 1 - m , \, c = -2m $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan sumbu simetri $ x = -1 $ :
$ \begin{align} x & = -1 \\ \frac{-b}{2a} & = -1 \\ b & = 2a \\ 1-m & = 2(3-m) \\ 1-m & = 6 - 2m \\ 2m - m & = 6 - 1 \\ m & = 5 \end{align} $
Sehingga fungsi kuadratnya menjadi :
$ f(x) = (3-m)x^2 + (1-m)x - 2m = (3-5)x^2 + (1-5)x - 2.5 $
$ f(x) = -2x^2 - 4x - 10 $
*). Menentukan titik A, substitusi $ x = 0 $ :
$ y = f(0) = -2.0^2 - 4.0 - 10 = -10 $
Sehingga titik $ A (0,-10) $.
*). Menentukan titik puncak $(x_p,y_p) $ :
$ \begin{align} x_p & = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4}{2.(-2)} = -1 \\ y_p & = f(x_p) = f(-1) \\ & = -2.(-1)^2 - 4.(-1) - 10 = -2 + 4 - 10 = -8 \end{align} $
Sehingga titik puncaknya $ (x_p,y_p) = (-1,-8) $
*). Menentukan gradien garis melalui dua titik
$ (x_1,y_1) = (0,-10) $ dan $ (x_2,y_2) = (-1,-8) $
$ \begin{align} m & = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} = \frac{-8 - (-10)}{-1 - 0} \\ & = \frac{2}{-1} = -2 \end{align} $
Jadi, gradiennya adalah $ -2 . \, \heartsuit $


Tidak ada komentar:

Posting Komentar