Cara 2 Pembahasan PersamaanTri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ diantara $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = \sqrt{2} $ adalah ....
A). $ 15^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
B). $ 75^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
C). $ 15^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
D). $ 75^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
E). $ 15^\circ \, $ dan $ 75^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \, \, \, \, \sin( A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
*). Persamaan trigonometri :
$ \sin f(x) = \sin \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k.2\pi $ atau $ f(x) = (180^\circ -\theta ) + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya
$ \begin{align} \sqrt{3}\cos x - \sin x & = \sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \frac{1}{2} ) \\ \frac{1}{2} \sqrt{3}. \cos x - \frac{1}{2} . \sin x & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin 60^\circ . \cos x - \cos 60^\circ . \sin x & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin ( 60^\circ - x ) & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin ( 60^\circ - x ) & = \sin 45^\circ \\ f(x) = 60^\circ - x , \theta & = 45^\circ \end{align} $
memiliki penyelesaian (akar-akar) :
i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $
$ \begin{align} 60^\circ - x & = 45^\circ + k.2\pi \\ x & = 15^\circ - k.2\pi \\ k = 0 \rightarrow x & = 15^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
ii). $ f(x) = ( 180^\circ -\theta) + k.2\pi $
$ \begin{align} 60^\circ - x & = ( 180^\circ -45^\circ ) + k.2\pi \\ 60^\circ - x & = 135^\circ + k.2\pi \\ x & = -75^\circ - k.2\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = 285^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
Sehingga solusinya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} $
Jadi, penyelesaiannya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar