Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ diantara $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = \sqrt{2} $ adalah ....
A). $ 15^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
B). $ 75^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
C). $ 15^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
D). $ 75^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
E). $ 15^\circ \, $ dan $ 75^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \, \, \, \, a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos ( f(x) - \theta ) $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2} $ dan $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
*). Persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k.2\pi $ atau $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
dari bentuk $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = - \sin x + \sqrt{3}\cos x $ ,
$ a = -1 , b = \sqrt{3} $ dan $ f(x) = x $
$ k = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
$ \tan \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}} \rightarrow \tan \theta = - \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \theta = 330^\circ $
(karena sin negatif dan cos positif sehingga $ \theta $ di kuadrat IV).
Sehingga bentuknya menjadi :
$ \begin{align} \sqrt{3}\cos x - \sin x & = k \cos ( f(x) - \theta ) \\ & = 2 \cos ( x - 330^\circ ) \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya
$ \begin{align} \sqrt{3}\cos x - \sin x & = \sqrt{2} \\ 2 \cos ( x - 330^\circ ) & = \sqrt{2} \\ \cos ( x - 330^\circ ) & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \cos ( x - 330^\circ ) & = \cos 45^\circ \\ f(x) = x - 330^\circ , \theta & = 45^\circ \end{align} $
memiliki penyelesaian (akar-akar) :
i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $
$ \begin{align} x - 330^\circ & = 45^\circ + k.2\pi \\ x & = 375^\circ + k.2\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = 15^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
ii). $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
$ \begin{align} x - 330^\circ & = -45^\circ + k.2\pi \\ x & = 285^\circ + k.2\pi \\ k = 0 \rightarrow x & = 285^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
Sehingga solusinya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} $
Jadi, penyelesaiannya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar