Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ |x^2 - 3 | < 2x $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ -1 < x < 3 \, $
B). $ -3 < x < 1 \, $
C). $ 1 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < -1 \, $ atau $ 1 < x < 3 $
E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Kedua bentuk yaitu $ f(x) $ dan $ - f(x) $ digabungkan hasilnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berdasarkan definisi bentuk mutlak :
$ |x^2 - 3| = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - 3 & , \text{ untuk } x - \leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} \\ 3 - x^2 & , \text{ untuk } -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} \end{array} \right. $
-). Batas pada mutlak di atas kita peroleh dari menyelesaikan $ x^2 - 3 \geq 0 $ dan $ x^2 - 3 < 0 $ sesuai definisi nilai mutlak di atas.
-). Dari definisi, kita peroleh :
untuk $ x -\leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = x^2 -3 $
untuk $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = 3 - x^2 $
*). Menyelesaikan soalnya berdasarkan definisi :
-). untuk $ x -\leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = x^2 -3 $
$ \begin{align} |x^2 - 3 | & < 2x \\ x^2 - 3 & < 2x \\ x^2 - 2x - 3 & < 0 \\ (x + 1)(x-3) & < 0 \\ x = -1 \vee x & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Dari garis bilangan dan syarat $ x \leq -\sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $, maka solusi kasus pertama : $ HP1 = \sqrt{3} \leq x < 3 $
-). untuk $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = 3 - x^2 $
$ \begin{align} |x^2 - 3 | & < 2x \\ 3 - x^2 & < 2x \\ -x^2 - 2x + 3 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 + 2x - 3 & > 0 \\ (x - 1)(x+3) & > 0 \\ x = 1 \vee x & = -3 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Dari garis bilangan dan syarat $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $, maka solusi kasus pertama : $ HP2 = 1 < x < \sqrt{3} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 :
$ \begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 = 1 < x < 3 \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya $ \{ 1 < x < 3 \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar