Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk $ a $. P adalah titik pada perpanjangan AE sehingga $ PE = \frac{1}{2}a $. Jika bidang PBD memotong bidang atas EFGH sepanjang QR, maka $ QR = .... $
A). $ \frac{1}{3}a \, $ B). $ \frac{1}{2}a \, $ C). $ \frac{1}{3}a\sqrt{2} \, $
D). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{2}{3}a\sqrt{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua buah segitiga sebangun memiliki perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama.
*). Ciri-ciri dua segitiga sebangun adalah ketiga sudut yang bersesuaian sama.
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

panjang rusuk kubus $ = a $, $ PE = \frac{1}{2}a $
panjang $ PA = PE + EA = \frac{1}{2}a + a = \frac{3}{2}a $
panjang $ EQ = ER $.
*). Segitiga PEQ sebangun dengan segitiga PAB, sehingga
$ \begin{align} \frac{EQ}{AB} & = \frac{PE}{PA} \\ \frac{EQ}{a} & = \frac{\frac{1}{2}a}{\frac{3}{2}a} \\ \frac{EQ}{a} & = \frac{1}{3} \\ EQ & = \frac{1}{3} a \end{align} $
*). Menentukan panjang $ QR $ :
$ \begin{align} QR & = \sqrt{EQ^2 + ER^2} \\ & = \sqrt{ (\frac{1}{3} a) ^2 + (\frac{1}{3} a )^2} \\ & = \sqrt{ 2(\frac{1}{3} a) ^2 } = \frac{1}{3} a \sqrt{ 2} \end{align} $
Jadi, panjang $ QR = \frac{1}{3} a \sqrt{ 2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar