Pembahasan Operasi Akar UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika akar-akar persamaan $ 2x^2-x-2=0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $, maka $ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} \, $ sama dengan ....
A). $ -\frac{13}{4} \, $ B). $ -\frac{13}{8} \, $ C). $ -\frac{5}{4} \, $ D). $ \frac{5}{8} \, $ E). $ \frac{13}{8} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat $ ax^2+bx+c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Rumus bantu :
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2) $
$ x_1^3.x_2^3 = (x_1.x_2)^3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat : $ 2x^2-x-2=0 $
Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2} $
$ x_1 . x_2 = \frac{-2}{2} = -1 $
*). Menentukan nilai $ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} $ :
$\begin{align} \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} & = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1^3.x_2^3} \\ & = \frac{(x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)}{(x_1.x_2)^3} \\ & = \frac{(\frac{1}{2})^3 - 3.(-1)(\frac{1}{2})}{(-1)^3} \\ & = \frac{\frac{1}{8} + \frac{3}{2}}{-1} = \frac{\frac{1}{8} + \frac{12}{8}}{-1} \\ & = \frac{ \frac{13}{8}}{-1} = -\frac{13}{8} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = -\frac{13}{8} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar