Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah suku ketiga dan ketujuh suatu deret aritmetika adalah 12 dan suku ke sepuluh adalah $ -24 $. Rumus jumlah $ n $ suku pertama tersebut adalah $ S_n = .... $
A). $ 18n - 3n^2 \, $
B). $ 27n - 3n^2 \, $
C). $ 30n - 3n^2 $
D). $ 33n - 3n^2 $
E). $ 66n - 3n^2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). RUmus suku ke-$n $ : $ U_n = a + (n-1) b $
*). Rumus $ S_n $ : $ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlah $ U_3 $ dan $ U_7 $ sama dengan 12 :
$\begin{align} U_3 + U_7 & = 12 \\ (a + 2b) + (a + 6b) & = 12 \\ 2a + 8b & = 12 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ a + 4b & = 6 \\ a & = 6 - 4b \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ b $ dari $ U_{10} = -24 $ dan pers(i) :
$\begin{align} U_{10} & = -24 \\ a + 9b & = -24 \\ (6 - 4b) + 9b & = -24 \\ 6 + 5b & = -24 \\ 5b & = -30 \\ b & = -6 \end{align} $
Pers(i): $ a = 6 - 4b = 6 - 4. (-6) = 30 $
*). Menentukan rumus $ S_n $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ & = \frac{n}{2}(2. 30 + (n-1).(-6)) \\ & = \frac{n}{2}(60 -6n + 6) \\ & = \frac{n}{2}(66 -6n ) \\ & = \frac{n}{2}. 66 - \frac{n}{2}. 6n \\ & = 33n - 3n^2 \end{align} $
Jadi, rumus $ S_n = 33n - 3n^2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar