Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{2x^{\log 4x}}{x^{\log 2x}} < \frac{1}{2} $ adalah ....
A). $ x < - 100 \, $
B). $ x < -10 \, $
C). $ 0 < x < \frac{1}{100} \, $
D). $ \frac{1}{100} < x < \frac{1}{10} \, $
E). $ 2 < x < 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat bentuk logaritma $ {}^a \log f(x) $ :
$ a > 0, a \neq 1 $ , dan $ f(x) > 0 $
*). Sifat logaritma :
1). $ {}^a \log a = 1 $
2). $ {}^a \log b. {}^b \log c = {}^a \log c $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
4). $ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
5). $ (a )^{ {}^a \log b } = b $
*). Bentuk $ \log b = {}^{10} \log b $
*). Sifat eksponen :
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, $ (a^m)^n = a^{m.n} $ dan $ a^{m+n} = a^m.a^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari bentuk $ \frac{2x^{\log 4x}}{x^{\log 2x}} $ , syarat logaritmanya :
$ 4x > 0 \rightarrow x > 0 $ dan $ 2x > 0 \rightarrow x > 0 $ ,
dari kedua syarat, maka nilai $ x > 0 \, $ ....(HP1)
*). Menyederhanakan dan menyelesaikan soal
$ \begin{align} \frac{2x^{\log 4x}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2x^{\log (2x . 2)}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2x^{\log 2x + \log 2}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2x^{\log 2x}.x^{ \log 2}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2 x^{ \log 2}}{1} & < \frac{1}{2} \\ 2 x^{ \log 2} & < \frac{1}{2} \\ x^{ \log 2} & < \frac{1}{4} \\ x^{ {}^{10} \log 2} & < 2^{-2} \, \, \, \, \, \text{pangkatkan)} \\ (x^{ {}^{10} \log 2})^{{}^2 \log 10} & < (2^{-2})^{{}^2 \log 10} \\ x^{ {}^{10} \log 2. {}^2 \log 10} & < 2^{ -2. {}^2 \log 10} \\ x^{ {}^{10} \log 10} & < 2^{{}^2 \log 10 ^ {-2} } \\ x^{ 1} & < 10 ^ {-2} \\ x & < \frac{1}{100} \, \, \, \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align} $
*). Solusi totalnya adalah irisan dari HP1 dan HP2
$ \begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x > 0 \} \cap \{ x < \frac{1}{100} \} \\ & = 0 < x < \frac{1}{100} \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ 0 < x < \frac{1}{100} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar